Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15176
2021-06-03 
С плоскости, образующей с горизонтом угол $\alpha$ скатывается без проскальзывания однородная тонкостенная труба массой $M$. Найдите ускорение $a_{ц}$ центра масс трубы и силу трения $F_{тр}$, пренебрегая влиянием воздуха. При каком соотношении между коэффициентом трения скольжения $\mu$ и углом $\alpha$ качение будет происходить без проскальзывания? Ускорение свободного падения равно $g$.
Решение:
Введем обозначения: $\vec{v}_{ц}$ - скорость центра масс трубы, $\omega$ - угловая скорость вращения трубы в Ц-системе. Труба катится без проскальзывания, поэтому
$v_{ц} = \omega R$,
где $R$ - радиус трубы. Кинетическая энергия трубы равна
$E_{k} = \frac{Mv_{ц}^{2} }{2} + \sum_{i} \frac{m_{i} ( \omega R)^{2} }{2} = Mv_{ц}^{2}$.
По закону сохранения энергии приращение кинетической энергии трубы к моменту времени t от начала движения равно убыли потенциальной энергии:
$Mv_{ц}^{2} = Mgx \sin \alpha$,
где $x$ - перемещение центра масс трубы к указанному моменту времени. Дифференцируя это соотношение по времени и замечая, что $v_{ц} = \frac{dx}{dt}$ и $a_{ц} = \frac{dv_{ц}}{dt}$, получим искомое ускорение:
$a_{ц} = \frac{1}{2} g \sin \alpha$.
Из уравнения движения центра масс трубы (рис.)
$Ma_{ц} = Mg \sin \alpha - F_{тр}$
найдем величину силы трения сцепления:
$F_{тр} = \frac{1}{2} Mg \sin \alpha$.
Если считать, что при качении величина максимальной силы трения равна
$F_{трm} = \mu N = \mu Mg \cos \alpha$,
то качение без проскальзывания будет происходить при условии
$F_{тр} \leq \mu Mg \cos \alpha$,
т.е.
$tg \alpha \leq 2 \mu$.
Так как на скатывающееся тело действует сила трения, может возникнуть вопрос, почему в рассматриваемой задаче можно применять закон сохранения механической энергии. Ответ заключается в том, что при отсутствии скольжения сила трения приложена к тем точкам тела, которые лежат на мгновенной оси вращения, т.е. к точкам, скорость которых равна нулю, а потому приложенная к ним сила трения сцепления работы не совершает. Роль силы трения сцепления сводится к тому, чтобы привести тело во вращение и обеспечить чистое качение (без проскальзывания).
С плоскости, образующей с горизонтом угол $\alpha$ скатывается без проскальзывания однородная тонкостенная труба массой $M$. Найдите ускорение $a_{ц}$ центра масс трубы и силу трения $F_{тр}$, пренебрегая влиянием воздуха. При каком соотношении между коэффициентом трения скольжения $\mu$ и углом $\alpha$ качение будет происходить без проскальзывания? Ускорение свободного падения равно $g$.
Решение:
Введем обозначения: $\vec{v}_{ц}$ - скорость центра масс трубы, $\omega$ - угловая скорость вращения трубы в Ц-системе. Труба катится без проскальзывания, поэтому
$v_{ц} = \omega R$,
где $R$ - радиус трубы. Кинетическая энергия трубы равна
$E_{k} = \frac{Mv_{ц}^{2} }{2} + \sum_{i} \frac{m_{i} ( \omega R)^{2} }{2} = Mv_{ц}^{2}$.
По закону сохранения энергии приращение кинетической энергии трубы к моменту времени t от начала движения равно убыли потенциальной энергии:
$Mv_{ц}^{2} = Mgx \sin \alpha$,
где $x$ - перемещение центра масс трубы к указанному моменту времени. Дифференцируя это соотношение по времени и замечая, что $v_{ц} = \frac{dx}{dt}$ и $a_{ц} = \frac{dv_{ц}}{dt}$, получим искомое ускорение:
$a_{ц} = \frac{1}{2} g \sin \alpha$.
Из уравнения движения центра масс трубы (рис.)
$Ma_{ц} = Mg \sin \alpha - F_{тр}$
найдем величину силы трения сцепления:
$F_{тр} = \frac{1}{2} Mg \sin \alpha$.
Если считать, что при качении величина максимальной силы трения равна
$F_{трm} = \mu N = \mu Mg \cos \alpha$,
то качение без проскальзывания будет происходить при условии
$F_{тр} \leq \mu Mg \cos \alpha$,
т.е.
$tg \alpha \leq 2 \mu$.
Так как на скатывающееся тело действует сила трения, может возникнуть вопрос, почему в рассматриваемой задаче можно применять закон сохранения механической энергии. Ответ заключается в том, что при отсутствии скольжения сила трения приложена к тем точкам тела, которые лежат на мгновенной оси вращения, т.е. к точкам, скорость которых равна нулю, а потому приложенная к ним сила трения сцепления работы не совершает. Роль силы трения сцепления сводится к тому, чтобы привести тело во вращение и обеспечить чистое качение (без проскальзывания).
