Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15175
2021-06-03 
Однородные шары радиусом $R$ каждый находятся на гладкой горизонтальной спице (рис.). К покоящемуся шару массой $6m$ прикреплена легкая пружина жесткостью $k$ и длиной $6R$. Шар массой $m$ движется со скоростью $v$. Найдите максимальную деформацию $\Delta L_{m}$ пружины и время $\tau$ контакта шара массой $m$ с пружиной.
Решение:
Рассмотрим три способа решения этой задачи.
Первый способ
В лабораторной системе отсчета - ЛСО - уравнения движения шаров в проекции на горизонтальную ось $x$ принимают вид (рис.)
$ma_{1x} = F_{1x}$,
$6ma_{2x} = F_{2x}$.
Отсюда с учетом равенства $F_{1x} = - F_{2x}$ получим
$a_{2x} - a_{1x} = F_{2x} \left ( \frac{1}{6m} + \frac{1}{m} \right )$.
В момент времени $t$ деформация пружины равна
$L(0) - L(t) = 6R - (x_{2} - x_{1} - 2R) = - (x_{2} - x_{1}) + 8R$,
где $L$ - длина пружины. Упругая сила связана с деформацией пружины законом Гука:
$F_{2x} = k (- (x_{2} - x_{1}) + 8R)$.
Тогда движение одного шара относительно другого описывается уравнением
$(x_{2} - x_{1} - 8R)^{ \prime \prime } = a_{2x} - a_{1x} = - \frac{k}{M} (x_{2} - x_{1} - 8R)$,
где $M = \frac{m \cdot 6m}{m + 6m} = \frac{6}{7} m$ - так называемая приведенная масса системы шаров. Это уравнение описывает свободные гармонические колебания. Его общее решение имеет вид
$x_{2} - x_{1} - 8R = A \cos \omega t + B \sin \omega t$,
где $\omega = \sqrt{ \frac{k}{m} } = \sqrt{ \frac{7k}{6m} }$, а постоянные $A$ и $B$ можно найти из начальных условий
$x_{2} (0) - x_{1} (0) - 8R = 0 = A$,
$v_{2x} (0) - v_{1x} (0) = -v = B \omega$.
Окончательно получим
$x_{2} (t) - x_{1} (t) - 8R = - v \sqrt{ \frac{6m}{7k} } \sin \omega t$.
Отсюда находим максимальную деформацию пружины:
$\Delta L_{m} = v \sqrt{ \frac{6m}{7k} }$.
Шар массой $m$ будет находиться в контакте с пружиной в течение половины периода гармонических колебаний:
$\tau = \frac{ \pi }{ \omega } = \pi \sqrt{ \frac{6m}{7k} }$.
Второй способ
В ЛСО кинетическая энергия системы материальных точек равна
$E_{k} = \sum_{i} \frac{m_{i}v_{i}^{2} }{2}$.
Если ввести систему центра масс - Ц-систему, - то с учетом правила сложения скоростей
$\vec{v}_{i} = \vec{v}_{ц} + \vec{u}_{i}$,
где $\vec{v}_{ц}$ - скорость центра масс в ЛСО, $\vec{u}_{i}$ - скорость $i$-й точки в Ц-системе, выражение для энергии можно преобразовать:
$E_{k} = \frac{ \left ( \sum_{i} m_{i} \right )v_{ц}^{2} }{2} + \sum_{i} \frac{m_{i}u_{i}^{2} }{2} + \left ( \vec{v}_{ц} \cdot \sum_{i} m_{i} \vec{u}_{i} \right )$.
Последнее слагаемое в этом выражении равно нулю, так как в Ц-системе скорость центра масс равна нулю:
$\vec{u}_{ц} = \frac{ \sum_{i} m_{i} \vec{u}_{i} }{ \sum_{i} m_{i} } = 0$.
Полученное равенство
$E_{k} = \frac{ \left ( \sum_{i} m_{i} \right ) v_{ц}^{2} }{2} + \sum_{i} \frac{m_{i}u_{i}^{2} }{2}$
словами формулируется так (теорема Кенига): кинетическая энергия системы материальных точек равна сумме половины произведения массы системы на квадрат скорости ее центра масс и кинетической энергии относительного движения в Ц-системе.
Чтобы применить эту формулу для решения нашей задачи, найдем скорость центра масс системы шаров. Так как горизонтальные внешние силы на шары не действуют, импульс системы сохраняется:
$mv = (m + 6m) v_{ц}$,
поэтому скорость центра масс системы в ЛСО постоянна и равна $v_{ц} = \frac{v}{7}$. В момент начала деформации пружины кинетическая энергия относительного движения шаров в Ц-системе равна
$\frac{mv^{2} }{2} - \frac{7m}{2} \left ( \frac{v}{7} \right )^{2} = \frac{3mv^{2} }{7}$.
В процессе деформации кинетическая энергия относительного движения убывает до нуля, а энергия деформации растет и достигает наибольшего значения в момент остановки шаров в Ц-системе. Центр масс системы движется при этом с постоянной скоростью. По закону сохранения энергии,
$\frac{3mv^{2}}{7} = \frac{k \Delta L_{m}^{2} }{2}$,
откуда
$\Delta L_{m} = v \sqrt{ \frac{6m}{7k} }$.
Для определения $\tau$ заметим, что деформация пружины изменяется по гармоническому закону, поэтому амплитуда скорости деформации и амплитуда относительного смещения связаны соотношением
$v_{m} = v = \omega \Delta L_{m}$.
Из двух последних равенств находим
$\omega = \frac{v}{ \Delta L_{m} } = \sqrt{ \frac{7k}{6m} }$.
Искомое время равно половине периода гармонических колебаний:
$\tau = \frac{ \pi }{ \omega } = \pi \sqrt{ \frac{6m}{7k} }$.
Третий способ
В начальный момент времени скорости шаров в Ц-системе максимальны по величине и равны, соответственно, $u_{1m} = v - \frac{v}{7} = \frac{6v}{7}$ для налетающего в ЛСО шара и $u_{2m} = \frac{v}{7}$ для покоящегося шара. В Ц-системе (системе нулевого импульса) отношение скоростей 6 : 1 (обратное отношению масс) будет постоянным в процессе деформации пружины. Следовательно, неподвижная в Ц-системе точка пружины делит ее длину в том же отношении, т.е. 6 : 1. Жесткость пружины обратно пропорциональна ее длине. Отсюда находим жесткости двух пружин, разделенных неподвижной точкой:
$k_{1} = \frac{7}{6}k$ и $k_{2} = 7k$.
Тогда амплитуды смещений шаров будут равны
$\Delta L_{1m} = \frac{ u_{1m} }{ \omega_{1} } = \frac{ \frac{6v}{7} }{ \sqrt{ \frac{k_{1} }{m} } } = \frac{6}{7} v \sqrt{ \frac{6m}{7k} }$
и
$\Delta L_{2m} = \frac{u_{2m} }{ \omega_{2} } = \frac{ \frac{v}{7} }{ \sqrt{ \frac{k_{2} }{6m} } } = \frac{1}{7} v \sqrt{ \frac{6m}{7k} }$
Эти деформации достигаются одновременно, а максимальная деформация пружины равна их сумме:
$\Delta L_{m} = \Delta L_{1m} + \Delta L_{2m} = v \sqrt{ \frac{6m}{7k} }$.
Время $\tau$ равно половине периода гармонических колебаний любого шара:
$\tau = \frac{ \pi }{ \omega_{1} } = \frac{ \pi }{ \omega_{2} } = \pi \sqrt{ \frac{6m}{7k} }$.
Однородные шары радиусом $R$ каждый находятся на гладкой горизонтальной спице (рис.). К покоящемуся шару массой $6m$ прикреплена легкая пружина жесткостью $k$ и длиной $6R$. Шар массой $m$ движется со скоростью $v$. Найдите максимальную деформацию $\Delta L_{m}$ пружины и время $\tau$ контакта шара массой $m$ с пружиной.
Решение:
Рассмотрим три способа решения этой задачи.
Первый способ
В лабораторной системе отсчета - ЛСО - уравнения движения шаров в проекции на горизонтальную ось $x$ принимают вид (рис.)
$ma_{1x} = F_{1x}$,
$6ma_{2x} = F_{2x}$.
Отсюда с учетом равенства $F_{1x} = - F_{2x}$ получим
$a_{2x} - a_{1x} = F_{2x} \left ( \frac{1}{6m} + \frac{1}{m} \right )$.
В момент времени $t$ деформация пружины равна
$L(0) - L(t) = 6R - (x_{2} - x_{1} - 2R) = - (x_{2} - x_{1}) + 8R$,
где $L$ - длина пружины. Упругая сила связана с деформацией пружины законом Гука:
$F_{2x} = k (- (x_{2} - x_{1}) + 8R)$.
Тогда движение одного шара относительно другого описывается уравнением
$(x_{2} - x_{1} - 8R)^{ \prime \prime } = a_{2x} - a_{1x} = - \frac{k}{M} (x_{2} - x_{1} - 8R)$,
где $M = \frac{m \cdot 6m}{m + 6m} = \frac{6}{7} m$ - так называемая приведенная масса системы шаров. Это уравнение описывает свободные гармонические колебания. Его общее решение имеет вид
$x_{2} - x_{1} - 8R = A \cos \omega t + B \sin \omega t$,
где $\omega = \sqrt{ \frac{k}{m} } = \sqrt{ \frac{7k}{6m} }$, а постоянные $A$ и $B$ можно найти из начальных условий
$x_{2} (0) - x_{1} (0) - 8R = 0 = A$,
$v_{2x} (0) - v_{1x} (0) = -v = B \omega$.
Окончательно получим
$x_{2} (t) - x_{1} (t) - 8R = - v \sqrt{ \frac{6m}{7k} } \sin \omega t$.
Отсюда находим максимальную деформацию пружины:
$\Delta L_{m} = v \sqrt{ \frac{6m}{7k} }$.
Шар массой $m$ будет находиться в контакте с пружиной в течение половины периода гармонических колебаний:
$\tau = \frac{ \pi }{ \omega } = \pi \sqrt{ \frac{6m}{7k} }$.
Второй способ
В ЛСО кинетическая энергия системы материальных точек равна
$E_{k} = \sum_{i} \frac{m_{i}v_{i}^{2} }{2}$.
Если ввести систему центра масс - Ц-систему, - то с учетом правила сложения скоростей
$\vec{v}_{i} = \vec{v}_{ц} + \vec{u}_{i}$,
где $\vec{v}_{ц}$ - скорость центра масс в ЛСО, $\vec{u}_{i}$ - скорость $i$-й точки в Ц-системе, выражение для энергии можно преобразовать:
$E_{k} = \frac{ \left ( \sum_{i} m_{i} \right )v_{ц}^{2} }{2} + \sum_{i} \frac{m_{i}u_{i}^{2} }{2} + \left ( \vec{v}_{ц} \cdot \sum_{i} m_{i} \vec{u}_{i} \right )$.
Последнее слагаемое в этом выражении равно нулю, так как в Ц-системе скорость центра масс равна нулю:
$\vec{u}_{ц} = \frac{ \sum_{i} m_{i} \vec{u}_{i} }{ \sum_{i} m_{i} } = 0$.
Полученное равенство
$E_{k} = \frac{ \left ( \sum_{i} m_{i} \right ) v_{ц}^{2} }{2} + \sum_{i} \frac{m_{i}u_{i}^{2} }{2}$
словами формулируется так (теорема Кенига): кинетическая энергия системы материальных точек равна сумме половины произведения массы системы на квадрат скорости ее центра масс и кинетической энергии относительного движения в Ц-системе.
Чтобы применить эту формулу для решения нашей задачи, найдем скорость центра масс системы шаров. Так как горизонтальные внешние силы на шары не действуют, импульс системы сохраняется:
$mv = (m + 6m) v_{ц}$,
поэтому скорость центра масс системы в ЛСО постоянна и равна $v_{ц} = \frac{v}{7}$. В момент начала деформации пружины кинетическая энергия относительного движения шаров в Ц-системе равна
$\frac{mv^{2} }{2} - \frac{7m}{2} \left ( \frac{v}{7} \right )^{2} = \frac{3mv^{2} }{7}$.
В процессе деформации кинетическая энергия относительного движения убывает до нуля, а энергия деформации растет и достигает наибольшего значения в момент остановки шаров в Ц-системе. Центр масс системы движется при этом с постоянной скоростью. По закону сохранения энергии,
$\frac{3mv^{2}}{7} = \frac{k \Delta L_{m}^{2} }{2}$,
откуда
$\Delta L_{m} = v \sqrt{ \frac{6m}{7k} }$.
Для определения $\tau$ заметим, что деформация пружины изменяется по гармоническому закону, поэтому амплитуда скорости деформации и амплитуда относительного смещения связаны соотношением
$v_{m} = v = \omega \Delta L_{m}$.
Из двух последних равенств находим
$\omega = \frac{v}{ \Delta L_{m} } = \sqrt{ \frac{7k}{6m} }$.
Искомое время равно половине периода гармонических колебаний:
$\tau = \frac{ \pi }{ \omega } = \pi \sqrt{ \frac{6m}{7k} }$.
Третий способ
В начальный момент времени скорости шаров в Ц-системе максимальны по величине и равны, соответственно, $u_{1m} = v - \frac{v}{7} = \frac{6v}{7}$ для налетающего в ЛСО шара и $u_{2m} = \frac{v}{7}$ для покоящегося шара. В Ц-системе (системе нулевого импульса) отношение скоростей 6 : 1 (обратное отношению масс) будет постоянным в процессе деформации пружины. Следовательно, неподвижная в Ц-системе точка пружины делит ее длину в том же отношении, т.е. 6 : 1. Жесткость пружины обратно пропорциональна ее длине. Отсюда находим жесткости двух пружин, разделенных неподвижной точкой:
$k_{1} = \frac{7}{6}k$ и $k_{2} = 7k$.
Тогда амплитуды смещений шаров будут равны
$\Delta L_{1m} = \frac{ u_{1m} }{ \omega_{1} } = \frac{ \frac{6v}{7} }{ \sqrt{ \frac{k_{1} }{m} } } = \frac{6}{7} v \sqrt{ \frac{6m}{7k} }$
и
$\Delta L_{2m} = \frac{u_{2m} }{ \omega_{2} } = \frac{ \frac{v}{7} }{ \sqrt{ \frac{k_{2} }{6m} } } = \frac{1}{7} v \sqrt{ \frac{6m}{7k} }$
Эти деформации достигаются одновременно, а максимальная деформация пружины равна их сумме:
$\Delta L_{m} = \Delta L_{1m} + \Delta L_{2m} = v \sqrt{ \frac{6m}{7k} }$.
Время $\tau$ равно половине периода гармонических колебаний любого шара:
$\tau = \frac{ \pi }{ \omega_{1} } = \frac{ \pi }{ \omega_{2} } = \pi \sqrt{ \frac{6m}{7k} }$.
