2021-04-14
На гладкой горизонтальной поверхности стола расположена проволочная прямоугольная рамка массой $m$ со сторонами $a$ и $b$ (рис.). Рамка находятся в магнитном поле, составляющая вектора индукции которого вдоль оси $z$ зависит только от координаты $x$ и изменяется по закону $B_{z} = B_{0} (1 - \alpha x)$, где $B_{0}$ и $\alpha$ - заданные константы. Рамке сообщают вдоль оси $x$ скорость $v_{0}$. Пренебрегая самоиндукцией рамки, определите расстояние, пройденное рамкой до полной остановки. Омическое сопротивление рамки равно $R$.
Решение:
Пусть в некоторый момент времени левый край рамки имеет координату $x$, а скорость рамки равна $v = \frac{dx}{dt}$ (рис.). Две стороны рамки 12 и 34 пересекают линии магнитного поля, и в них возникают ЭДС индукции, равные
$\mathcal{E}_{i1} = avB_{x+b}$ и $\mathcal{E}_{i2} = avB_{x}$,
где $B_{x}$ - индукция в точках с координатой $x$, а $B_{x+b}$ - с координатой $x + b$. Общая ЭДС индукции в контуре рамки равна
$\mathcal{E} = \mathcal{E}_{i2} - \mathcal{E}_{i1} = av (B_{x} - B_{x+b}) = \alpha ab B_{0}v$.
Под действием этой ЭДС в рамке возникнет ток
$I_{i} = \frac{ \mathcal{E}_{i} }{R} = \frac{ \alpha ab B_{0} }{R} v$.
На каждую сторону рамки с током будет действовать сила Ампера:
$F_{12} = aI_{i}B_{x + b} = \frac{ \alpha a^{2}bB_{0} }{R} vB_{x + b}$,
$F_{34} = \frac{ \alpha a^{2}bB_{0} }{R} vB_{x}$.
Результирующая сила вдоль оси $x$ равна
$F_{x} = F_{12} - F_{34} = \frac{ \alpha a^{2}bB_{0} }{R} v (B_{x+ b} - B_{x} ) = - \frac{ \alpha^{2} a^{2}b^{2}B_{0}^{2} }{R}v$.
Уравнение движения рамки имеет вид
$m \frac{dv}{dt} = - \frac{( \alpha abB_{0} )^{2} }{R} v$.
Поскольку $dx = vdt$, уравнение движения можно записать так:
$\frac{mR}{( \alpha ab B_{0} )^{2} }dv = - dx$.
Обозначим путь, пройденный рамкой до остановки, через $l$ и возьмем конечные приращения от обеих частей нашего уравнения:
$\frac{mR}{( \alpha ab B_{0} )^{2} } \int_{v_{0} }^{0} dv = - \int_{0}^{l} dx$.
Отсюда получаем
$l = \frac{mv_{0}R }{( \alpha ab B_{0} )^{2} }$.