2021-04-14
В схеме, изображенной на рисунке, в начальный момент ключ $K_{1}$ разомкнут, ключ $K_{2}$ замкнут, а конденсаторы емкостями $C_{1}$ и $C_{2}$ не заряжены. Сначала замыкают ключ $K_{1}$, а в тот момент, когда заряд на конденсаторе емкостью $C_{1}$ достигает максимального значения, размыкают ключ $K_{2}$. Найдите максимальный заряд на конденсаторе емкостью $C_{2}$ после размыкания ключа $K_{2}$. Внутренним сопротивлением батареи с ЭДС $\mathcal{E}$ пренебречь.
Решение:
В тот момент, когда заряд на конденсаторе емкостью $C_{1}$ достигает максимального значения, ток в цепи равен нулю. По закону сохранения энергии, совершенная батарей работа пошла на приращение энергии зарядившегося конденсатора. Пусть максимальный заряд на конденсаторе емкостью $C_{1}$ равен $q_{1max}$, тогда
$\mathcal{E}q_{1max} = \frac{ q_{1max}^{2} }{2C_{1} }$.
Отсюда
$q_{1max} = 2C_{1} \mathcal{E}$.
Сразу после размыкания ключа $K_{2}$ на конденсаторе емкостью $C_{1}$ находится максимальный заряд $q_{1max}$, а на конденсаторе емкостью $C_{2}$ заряда нет. Конденсатор емкостью $C_{2}$ начнет заряжаться, и через некоторое время заряд на нем достигнет максимального значения $q_{2max}$, а заряд на конденсаторе емкостью $C_{1}$ станет равным
$q_{1} = q_{1max} - q_{2max} = 2C_{1} \mathcal{E} - q_{2max}$.
Эта ситуация изображена на рисунке. Ток в цепи в этот момент равен нулю. Запишем энергетический баланс за время с момента размыкания ключа $K_{2}$ до момента установления максимального заряда на конденсаторе емкостью $C_{2}$. За это время часть освободившейся энергии на первом конденсаторе пошла на увеличение энергии второго конденсатора, а часть - на работу против ЭДС батареи:
$\frac{q_{1max}^{2} }{2C_{1} } - \frac{(q_{1max} - q_{2max} )^{2} }{2C_{1} } = \frac{q_{2max}^{2} }{2C_{2} } + q_{2max} \mathcal{E}$.
После простых преобразований получим
$\frac{(C_{1} + C_{2})}{2C_{1}C_{2} } q_{2max}^{2} - q_{2max} \mathcal{E} = 0$.
Отсюда
$q_{2max} = \frac{2C_{1}C_{2} \mathcal{E}}{C_{1} + C_{2} }$.