2021-04-14
Проводящая сфера радиусом $R$ заряжена зарядом $Q$. С какой силой отталкиваются друг от друга две половинки сферы?
Решение:
Вычислим силу, действующую на маленький участок поверхности площадью $\Delta S$. Эта сила равна
$\Delta F = \Delta q E_{внеш} = Q \frac{ \Delta S}{4 \pi R^{2} } E_{внеш}$,
где $E_{внеш}$ - напряженность поля, создаваемого внешними (по отношению к данному участку) зарядами сферы. Чтобы найти $E_{внеш}$, заметим, что полная напряженность среды вблизи поверхности равна (рис.)
$\vec{E}_{ср} = \vec{E}_{внеш} + \vec{E}_{уч}$,
где $\vec{E}_{уч}$ - напряженность собственного поля участка сферы. По разные стороны выделенного участка векторы $\vec{E}_{уч}$ направлены в противоположные стороны (вблизи центра участка напряженность совпадает с напряженностью поля равномерно заряженной плоскости), а векторы $\vec{E}_{внеш}$ направлены одинаково. Поскольку внутри сферы напряженность равна нулю, то
$E_{внеш} + E_{уч} = 2E_{внеш} = E_{сф} = \frac{1}{4 \pi \epsilon_{0} } \frac{Q}{R^{2} }$.
Тогда получаем
$\Delta F = \frac{Q^{2} }{32 \pi^{2} \epsilon_{0} R^{4} } \Delta S$.
Следовательно, внутри заряженной сферы как бы существует давление
$p = \frac{ \Delta F}{ \Delta S} = \frac{Q^{2}}{32 \pi^{2} \epsilon R^{4} }$.
Как было показано в задаче 5, сила, действующая на полусферу, равна
$F = p \pi R^{2} = \frac{Q^{2} }{32 \pi \epsilon_{0}R^{2}}$.
Заметим, что формула для давления может быть получена и из энергетических соображений. Мысленно уменьшая радиус сферы на $\Delta R$, мы совершим работу против силы
давления, равную $\sum pS \Delta R = p \cdot 4 \pi R^{2} \Delta R$, которая равна изменению электростатической энергии $\omega \Delta V = \omega \cdot 4 \pi R^{2} \Delta R$, где $\omega$ - объемная плотность энергии. Видно, что электростатическое давление на металлическую поверхность отрицательно (направлено в сторону поля) и равно объемной плотности энергии поля:
$p = \omega = \frac{ \epsilon_{0} E^{2}}{2}$.