2021-04-14
Внутри тонкой сферы радиусом $R$ создано избыточное давление $p$. Какой должна быть толщина сферы, чтобы она при этом не разорвалась, если разрыв происходит при напряжении $\sigma_{кр}$?
Решение:
Из условия равновесия полусферы следует, что сила упругости в диаметральном сечении равна равнодействующей сил давления:
$\sigma \cdot 2 \pi Rd = F_{д}$.
Для вычисления равнодействующей сил давления отметим, что она направлена вдоль оси симметрии полусферы (рис.):
$F_{д} = \sum p \Delta S \cos \alpha = \sum p \Delta S^{ \prime } = p \pi R^{2}$.
Вместо того чтобы проецировать силу на ось симметрии, взяли проекцию площади площадки $\Delta S$ на плоскость, на которую опирается полусфера (т.е. как бы «выпрямили» полусферу). Подставив в предыдущую формулу, получим
$\sigma = \frac{pR}{2d}$.
Из условия $\sigma < \sigma_{кр}$ найдем
$d > \frac{pR}{2 \sigma_{кр} }$.
Обратите внимание на близкую аналогию этой задачи с задачей вычисления избыточного давления под искривленной поверхностью жидкости, возникающего вследствие поверхностного натяжения (так называемое лапласово давление). В этом случае условие равновесия поверхностной пленки имеет вид
$\sigma \cdot 2 \pi R = p \pi R^{2}$,
где $\sigma$ в данном случае - коэффициент поверхностного натяжения жидкости. Отсюда получаем
$p = \frac{2 \sigma }{R}$.
Аналогично случаю линейных объектов, расчет равнодействующей сил давления можно обобщить на поверхность любой формы. Обобщение выглядит так: если давление постоянно, то равнодействующая сил давления, действующих на произвольную поверхность, опирающуюся на плоский участок, равна силе давления, приложенной к этому участку. Физический смысл этого утверждения состоит в том, что полная сила давления на замкнутую поверхность равна нулю (если давление постоянно).