2021-04-14
Тонкое кольцо массой $m$ и радиусом $R$ вращается вокруг своей оси с угловой скоростью $\omega$. Найдите натяжение кольца.
Решение:
Запишем второй закон Ньютона для малого элемента кольца. Равнодействующая двух сил натяжения сообщает этому элементу центростремительное ускорение:
$T \Delta \alpha = m \frac{ \Delta \alpha }{2 \pi } \omega^{2}R$,
откуда
$T = \frac{m \omega^{2} R}{2 \pi }$.
Это решение аналогично первому, т.е. дифференциальному, подходу в статических задачах. А применим ли в этом случае интегральный подход? Если мы запишем второй закон Ньютона для половины кольца, то в формулу для центростремительного ускорения центра масс полукольца войдет расстояние $r_{ц}$ от центра масс до оси:
$2T = \frac{m}{2} \omega^{2}r_{ц}$.
Если бы мы знали $r_{ц}$, то нашли бы натяжение $T$ вторым способом. Однако можно использовать это уравнение именно для вычисления $r_{ц}$: подставив сюда $T$, вычисленное первым способом, получим
$r_{ц} = \frac{2 R}{ \pi }$.