2021-04-14
Из собирающей линзы с фокусным расстоянием $F = 50 см$ вырезана центральная часть шириной $a = 0,6 мм$ в направлении, перпендикулярном плоскости рисунка, и обе половинки линзы сдвинуты до сопри косновения. По одну сторону линзы на расстоянии $F$ от нее помегцен точечный источник монохроматического света S с длиной волны $\lambda = 6000 \overset{ \circ}{A}$, а с противоположной стороны линзы расположен экран, на котором наблюдаются интерференционные полосы (рис.). Определите расстояние между соседними светлыми полосами, т.е. ширину интерференционных полос, на экране.
Решение:
Сферическая волна от точечного источника S после прохождения двух половинок линзы трансформируется в две плоские когерентные волны, каждая из которых распространяется под углом $\alpha = \frac{ \frac{a}{2} }{F}$ к горизонтали (рис.). При этом волновой фронт волны на выходе из верхней половинки линзы повернут по часовой стрелке, а на выходе из нижней половинки линзы - против часовой стрелки. Оптический центр каждой половинки линзы смещен относительно горизонтальной оси симметрии на $a/2$ -на рисунке пунктирные линии проходят через оптические центры половинок линзы. Таким образом, на экран падают две когерентные монохроматические плоские волны, сходящиеся под углом $2 \alpha$ друг к другу. В области перекрытия АВ этих волн будет наблюдаться интерференционная картина.
На рисунке в увеличенном масштабе изображены (синими линиями) волновые фронты интерферирующих волн. Точка О пересечения волновых фронтов расположена в центре экрана, вдоль которого направлена ось $x$. Рассмотрим на экране произвольную точку А с координатой $x$. Положим начальную фазу обеих волн равной нулю в центре экрана ($x = 0$). Тогда фаза волны, падающей сверху, в точке А равна
$\psi_{A1} = \frac{2 \pi \cdot AB}{ \lambda } = \frac{2 \pi x \sin \alpha }{ \lambda }$,
а фаза волны, падающей снизу, в той же точке составляет
$\psi_{A2} = - \frac{2 \pi \cdot CA}{ \lambda } = - \frac{2 \pi x \sin \alpha }{ \lambda }$.
Сдвиг по фазе между двумя колебаниями в точке А будет равен
$\Delta \psi = \psi_{A1} - \psi_{A2} = \frac{4 \pi x \sin \alpha }{ \lambda }$.
Условие того, что в точке А будет наблюдаться максимум интенсивности света (светлая полоса), запишется в виде
$\frac{4 \pi x \sin \alpha}{ \lambda } = 2 \pi m$, где $m = 0, 1, 2, \cdots$
Аналогично будет выглядеть условие для соседней светлой полосы:\
$\frac{4 \pi (x \pm \Delta x) \sin \alpha}{ \lambda } = 2 \pi (m \pm 1)$.
Из последних двух равенств следует, что ширина интерференционных полос будет равна
$\Delta x = \frac{ \lambda }{2 \sin \alpha } = \frac{ \lambda }{2 \alpha } = \frac{ \lambda F}{a} = 5 \cdot 10^{-4} м = 0,5 мм$.