2021-04-14
Прозрачный сосуд прямоугольной формы заполнен солевым раствором с переменной по высоте $z$ плотностью (рис.). На боковую поверхность сосуда падает нор малъно к ней параллельный пу чок монохроматического света. Зависимость показателя преломления раствора для данного света от высоты $z$ имеет вид $n_{z} = n_{0} - \frac{ n_{0} - n_{1} }{H} z$, где $n_{0}, n_{1}$ и $H$ - константы. Ширина сосуда $L$. Определите угол отклонения выходящего пучка.
Решение:
На первый взгляд, согласно лучевой теории света выходящий пучок не должен испытывать отклонения от своего первоначального направления распространения. Однако это не так. Попробуем разобраться, почему.
Если в задаче 15163 мы могли бы заменить световой пучок одним лучом и применить закон преломления луча на границе раздела двух однородных сред, то теперь мы имеем дело с неоднородной средой, и такая замена невозможна. Но мы можем разбить наш пучок на тонкие пучки толщиной $dz$ и считать, что каждый такой пучок распространяется в однородной среде со своим показателем преломления $n_{z}$. Тогда каждый пучок за свое время достигнет задней поверхности сосуда и возбудит вторичную сферическую волну, а огибающая всех этих вторичных волн и будет волновым фронтом прошедшей волны.
Полагая, что волновой фронт останется плоским, рассмотрим два пучка с координатами $z = a$ и $z = a + d$, где $d$ - ширина пучка по вертикали (рис.). Время прохождения пучком с координатой $z = a$ среды толщиной $L$ равно
$t_{1} = \frac{n_{0}L }{c} = \left ( n_{0} - \frac{n_{0} - n_{1} }{H}a \right ) \frac{L}{c}$,
где $c$ - скорость света в вакууме. Аналогично определяется время прохода пучка с координатой $z = d + a$:
$t_{2} = \frac{n_{d + a}L }{c} = \left ( n_{0} - \frac{n_{0} - n_{1} }{H}(d + a) \right ) \frac{L}{c}$.
Очевидно, что $t_{1} > t_{2}$, поэтому вторичная сферическая волна за промежуток времени $t_{1} - t_{2}$ распространится на расстояние $r$, равное
$r = c(t_{1} - t_{2}) = \frac{n_{0} - n_{1} }{H} dL$.
Угол $\psi$ поворота волнового фронта АВ найдем из соотношения
$\sin \psi = \frac{r}{d} = \frac{n_{0} - n_{1} }{H}L$,
откуда
$\psi = arcsin \left ( \frac{n_{0} - n_{1} }{H} L \right )$.
Как видно из полученного выражения, угол поворота волнового фронта не зависит ни от координаты $a$, ни от толщины входного пучка $d$. Следовательно, наше предположение о плоском волновом фронте выходящего пучка верно.