2021-04-14
Параллельный монохроматический пучок света падает нормально на одну из поверхностей прозрачного клина с углом скоса $\alpha$ (рис.). Определите угол отклонения светового пучка после прохождения клина, если показатель преломления материала клина равен $n$.
Решение:
Решение этой задачи с позиции геометрической оптики, т.е. с использсг ванием законов преломления света, не представляет большой сложности Но мы разберем данный пример с точки зрения распространения плоской волны с использованием принципа Гюйгенса.
Пусть плоская монохроматическая волна падает нормально на поверхность клина (рис.). Обозначим поперечный размер пучка через $d$ (причем $d \gg \lambda$, где $\lambda$ - длина волны света) и будем считать, что граница пучка находится на расстоянии $x$ от ребра клина. Пройдя верхнюю границу клина АВ, волна будет распространяться в том же направлении со скоростью $v = \frac{c}{n}$, где $c$ - скорость света в вакууме. За время
$t_{1} = \frac{AA^{ \prime}}{n} = \frac{n \cdot AA^{ \prime }}{c}$
фронт волны достигнет точки $A^{ \prime}$, и по принципу Гюйгенса мы можем рассматривать точку $A^{ \prime}$ как точечный источник вторичный сферической волны, распространяющейся дальше со скоростью $c$. Через время
$t_{2} = \frac{n \cdot BB^{ \prime} }{c}$
волновой фронт плоской волны достигнет точки $B^{ \prime}$. Найдем положение нового волнового фронта (после прохождения клина), полагая, что он плоский.
В тот момент, когда плоский волновой фронт достигнет точки $B^{ \prime}$, сферическая волна из точки $A^{ \prime}$ распространится на расстояние
$r = c(t_{2} - t_{1}) = n(BB^{ \prime} - AA^{ \prime}) = n ((x + d) tg \alpha - x tg \alpha ) = nd tg \alpha$.
Положение волнового фронта определяется касательной $B^{ \prime}A^{ \prime \prime}$ к окружности радиусом $r$. Из треугольника $A^{ \prime}B^{ \prime}A^{ \prime \prime}$ найдем
$\sin \phi = \frac{r}{A^{ \prime }B^{ \prime} } = \frac{nd tg \alpha }{ \frac{d}{ \cos \alpha} } = n \sin \alpha$.
Очевидно, что угол поворота волнового фронта равен
$\psi = \phi - \alpha = arcsin (n \sin \alpha ) - \alpha$.
Как видно из полученного выражения, величина угла $\psi$ не зависит ни от $x$, ни от $d$. Это свидетельствует о том, что плоский волновой фронт после прохождения через клин действительно остается плоским. При малом угле $\alpha$ угол поворота равен приблизительно
$\psi = (n - 1) \alpha$.