Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15161
2021-04-14 
На горизонтальной поверхности стола закреплена тонкая проводящая квадратная рамка со стороной $a$ (рис.). На рамке лежит стержень массой $M$, расположенный параллельно боковым сторонам рамки на расстоянии $b = \frac{a}{4}$ от одной из сторон. а Рамка и стержень изготовлены из одна о куска провода с омическим сопротивлением единичной длины $\rho$. В некоторый момент включается однородное магнитное поле, вектор индукции которого перпендикулярен плоскости рамки. Какую скорость приобретет стержень за время установления магнитного поля, если установившееся значение индукции равно $B_{0}$? Смещением стержня за время установления магнитного поля и трением между стержнем и рамкой пренебречь.
Решение:
Рассмотрим внутри промежутка времени установления магнитного поля некий произвольный момент $t$, когда индукция магнитного поля равна $B(t)$. В этот момент контур ACDK (рис.) пронизывается магнитным потоком $\Phi_{1} = B(t)ab$, а контур DNOK - потоком $\Phi_{2} = B(t)a(a - b)$. Изменяющееся во времени магнитное поле приводит к появлению вихревого электрического поля. Если магнитное поле симметрично относительно оси, перпендикулярной плоскости рамки и проходящей через ее центр, то силовые линии этого плоя будут иметь вид окружностей, расположенных в плоскости рамки (см. рис.). Работа, совершаемая вихревым электрическим полем по перемещению единичного положительного заряда по замкнутому контуру (например, по контуру ACDK), численно равна ЭДС индукции $\mathcal{E}_{i}$, действующей в этом контуре. Закон электромагнитной индукции Фарадея позволяет выразить ЭДС индукции в замкнутом контуре через скорость изменения магнитного потока, пронизывающего этот контур. Для контура ACDK получим
$\mathcal{E}_{i1} = - \frac{d \Phi_{1} }{dt} = - ab \frac{dB(t)}{dt} = - \frac{a^{2} }{4} \frac{dB(t)}{dt}$.
Аналогично, для контура DNOK -
$\mathcal{E}_{i2} = - \frac{d \Phi_{2} }{dt} = - a(a - b) \frac{dB(t)}{dt} = - \frac{3a^{2} }{4} \frac{dB(t)}{dt}$.
Пусть в данный момент по проводникам текут токи, указанные на рисунке. Запишем второе правило Кирхгофа для рассматриваемых контуров. Для контура ACDK:
$\frac{a^{2}}{4} \frac{dB(t)}{dt} = I_{1} \rho a + I_{1} \cdot 2 \rho b + I_{2} \rho a = \frac{3}{2} \rho aI_{1} + \rho aI_{2}$.
Для контура DNOK:
$\frac{3a^{2}}{4} \frac{dB(t)}{dt} = 2 \rho (a - b) I_{3} + \rho a I_{3} - \rho a I_{2} = \frac{5}{2} \rho aI_{3} - \rho a I_{2}$.
Из первого правила Кирхгофа (закона сохранения заряда) следует, что
$I_{2} + I_{3} = I_{1}$.
Совместное решение последних трех уравнений позволяет найти ток $I_{2}$:
$I_{2} = - \frac{2a}{31 \rho } \frac{dB(t)}{dt}$.
Знак «минус» означает, что мы не угадали направление тока через стержень - ток будет течь снизу вверх.
На стержень DK будет действовать сила Ампера, направленная к центру рамки и равная
$F_{A}(t) = - I_{2}aB (t) = \frac{2a^{2} }{31 \rho } B(t) \frac{dB(t)}{dt} = \frac{a^{2} }{31 \rho } \frac{d(B^{2}(t))}{dt}$.
За время установления магнитного поля на стержень подействует импульс силы, равный
$\int_{0}^{ \infty} F(A)(t)dt = \int_{0}^{B_{0} } \frac{a^{2} }{31 \rho } d(B^{2}(t) ) = \frac{a^{2}B_{0}^{2} }{ 31 \rho }$.
Этот импульс силы приведет к изменению импульса стержня:
$\frac{a^{2}B_{0}^{2}}{31 \rho } = Mv$.
Отсюда и находим скорость, которую приобретет стержень:
$v = \frac{a^{2}B_{0}^{2} }{31 M \rho }$.
На горизонтальной поверхности стола закреплена тонкая проводящая квадратная рамка со стороной $a$ (рис.). На рамке лежит стержень массой $M$, расположенный параллельно боковым сторонам рамки на расстоянии $b = \frac{a}{4}$ от одной из сторон. а Рамка и стержень изготовлены из одна о куска провода с омическим сопротивлением единичной длины $\rho$. В некоторый момент включается однородное магнитное поле, вектор индукции которого перпендикулярен плоскости рамки. Какую скорость приобретет стержень за время установления магнитного поля, если установившееся значение индукции равно $B_{0}$? Смещением стержня за время установления магнитного поля и трением между стержнем и рамкой пренебречь.
Решение:
Рассмотрим внутри промежутка времени установления магнитного поля некий произвольный момент $t$, когда индукция магнитного поля равна $B(t)$. В этот момент контур ACDK (рис.) пронизывается магнитным потоком $\Phi_{1} = B(t)ab$, а контур DNOK - потоком $\Phi_{2} = B(t)a(a - b)$. Изменяющееся во времени магнитное поле приводит к появлению вихревого электрического поля. Если магнитное поле симметрично относительно оси, перпендикулярной плоскости рамки и проходящей через ее центр, то силовые линии этого плоя будут иметь вид окружностей, расположенных в плоскости рамки (см. рис.). Работа, совершаемая вихревым электрическим полем по перемещению единичного положительного заряда по замкнутому контуру (например, по контуру ACDK), численно равна ЭДС индукции $\mathcal{E}_{i}$, действующей в этом контуре. Закон электромагнитной индукции Фарадея позволяет выразить ЭДС индукции в замкнутом контуре через скорость изменения магнитного потока, пронизывающего этот контур. Для контура ACDK получим
$\mathcal{E}_{i1} = - \frac{d \Phi_{1} }{dt} = - ab \frac{dB(t)}{dt} = - \frac{a^{2} }{4} \frac{dB(t)}{dt}$.
Аналогично, для контура DNOK -
$\mathcal{E}_{i2} = - \frac{d \Phi_{2} }{dt} = - a(a - b) \frac{dB(t)}{dt} = - \frac{3a^{2} }{4} \frac{dB(t)}{dt}$.
Пусть в данный момент по проводникам текут токи, указанные на рисунке. Запишем второе правило Кирхгофа для рассматриваемых контуров. Для контура ACDK:
$\frac{a^{2}}{4} \frac{dB(t)}{dt} = I_{1} \rho a + I_{1} \cdot 2 \rho b + I_{2} \rho a = \frac{3}{2} \rho aI_{1} + \rho aI_{2}$.
Для контура DNOK:
$\frac{3a^{2}}{4} \frac{dB(t)}{dt} = 2 \rho (a - b) I_{3} + \rho a I_{3} - \rho a I_{2} = \frac{5}{2} \rho aI_{3} - \rho a I_{2}$.
Из первого правила Кирхгофа (закона сохранения заряда) следует, что
$I_{2} + I_{3} = I_{1}$.
Совместное решение последних трех уравнений позволяет найти ток $I_{2}$:
$I_{2} = - \frac{2a}{31 \rho } \frac{dB(t)}{dt}$.
Знак «минус» означает, что мы не угадали направление тока через стержень - ток будет течь снизу вверх.
На стержень DK будет действовать сила Ампера, направленная к центру рамки и равная
$F_{A}(t) = - I_{2}aB (t) = \frac{2a^{2} }{31 \rho } B(t) \frac{dB(t)}{dt} = \frac{a^{2} }{31 \rho } \frac{d(B^{2}(t))}{dt}$.
За время установления магнитного поля на стержень подействует импульс силы, равный
$\int_{0}^{ \infty} F(A)(t)dt = \int_{0}^{B_{0} } \frac{a^{2} }{31 \rho } d(B^{2}(t) ) = \frac{a^{2}B_{0}^{2} }{ 31 \rho }$.
Этот импульс силы приведет к изменению импульса стержня:
$\frac{a^{2}B_{0}^{2}}{31 \rho } = Mv$.
Отсюда и находим скорость, которую приобретет стержень:
$v = \frac{a^{2}B_{0}^{2} }{31 M \rho }$.
