ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2016-11-27   
В центре кольца радиуса $R$ с равномерно распределенным по нему зарядом $Q$, находится точечный заряд $q$. С какой силой растянуто кольцо? Взаимодействием зарядов кольца друг с другом пренебречь.


Решение:



Запишем закон Ньютона для участка кольца, опирающегося на угол $2 \alpha$:

$\vec{T}_{1} + \vec{T}_{2} + \vec{F}_{k} = 0$, (1)

где $T_{1} = T_{2} = T$ — сила, с которой растянуто кольцо, $F_{k}$ — суммарная кулоновская сила, действующая на заряды участка кольца со стороны заряда $q$.

Проецируя (1) на ось х, получаем:

$2T \sin \alpha - F_{k} = 0$. (2)

Полагая угол $\alpha$ малым, так что заряд $\Delta Q$ участка кольца можно считать точечным, для кулоновской силы имеем: ^~—

$F_{k} = \frac{kq \Delta Q}{R^{2}}$. (3)

Чтобы связать одним соотношением $\alpha$ и $\Delta Q$, введем угловую плотность заряда (то есть заряд, приходящийся на угол в один радиан):

$\tau = \frac{Q}{2 \pi}$. (4)

Тогда имеем:

$\Delta Q = \tau \cdot 2 \alpha = \frac{Q}{2 \pi} 2 \alpha$, (5)

Учитывая, что при малых $\alpha \sin \alpha \approx \alpha$, из (1—5) получаем:

$T = \frac{kqQ}{2 \pi R^{2}}$.