Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15159
2021-04-14 
На непроводящей горизонтальной поверхности стола лежит тонкий металлический обруч массой $M$ и радиусом $a$. Обруч находится в однородном горизонтальном магнитном поле с индукцией $B$. Какой силы ток нужно пропустить вдоль обруча, чтобы он начал приподниматься?
Решение:
Путь индукция магнитного поля $\vec{B}$ направлена так, как это изображено на рисунке, а ток $I$ течет по обручу против часовой стрелки. Рассмотрим бесконечно малый элемент обруча $dl$, заключенный между двумя радиусами-векторами, проведенными под углами $\alpha$ и $\alpha + d \alpha$, где $d \alpha$ - бесконечно малый угол. Длина этого элемента равна $dl = a d \alpha$. На этот элемент с током $I$ действует сила Ампера, направленная перпендикулярно плоскости рисунка (от нас). Численно значение этой сила равно
$dF = Idl B \sin \alpha = IBa \sin \alpha d \alpha$.
Как видно из полученного выражения, сила Ампера при углах $0 < \alpha < \pi$ направлена от нас, а при углах $\pi < \alpha < 2 \pi$ - на нас. Следовательно, на обруч относительно оси $OO^{ \prime }$ будет действовать приподнимающий момент сил, которому будет препятствовать момент силы тяжести. Очевидно, что с увеличением силы тока момент сил Ампера будет расти, при некотором предельном значении силы тока $I_{п}$ он сравняется с моментом силы тяжести, и далее обруч начнет приподниматься, поворачиваясь вокруг оси $OO^{ \prime}$.
Запишем момент силы Ампера относительно оси $OO^{ \prime}$ для элемента $dl$:
$dM_{A} = - dF (a - a \sin \alpha ) = IBa^{2} ( \sin \alpha - 1) \sin \alpha \cdot d \alpha$.
Полный момент сил Ампера, действующий на весь обруч, очевидно, равен
$M_{A} = IBa^{2} \int_{0}^{2 \pi } ( \sin \alpha )^{2} d \alpha - IBa^{2} \int_{0}^{2 \pi } \sin \alpha d \alpha$.
Первый интеграл равен $\pi$, а второй равен нулю. Поэтому
$M_{A} = \pi IBa^{2}$.
Момент силы тяжести обруча относительно оси $OO^{ \prime}$ равен
$M_{т} = - Mga$.
Обруч начнет приподниматься, когда суммарный момент сил станет равным нулю:
$\pi I_{п} Ba^{2} - Mga = 0$.
Отсюда сила тока, при которой обруч начнет приподниматься, равна
$I_{п} = \frac{Mg}{ \pi Ba}$.
На непроводящей горизонтальной поверхности стола лежит тонкий металлический обруч массой $M$ и радиусом $a$. Обруч находится в однородном горизонтальном магнитном поле с индукцией $B$. Какой силы ток нужно пропустить вдоль обруча, чтобы он начал приподниматься?
Решение:
Путь индукция магнитного поля $\vec{B}$ направлена так, как это изображено на рисунке, а ток $I$ течет по обручу против часовой стрелки. Рассмотрим бесконечно малый элемент обруча $dl$, заключенный между двумя радиусами-векторами, проведенными под углами $\alpha$ и $\alpha + d \alpha$, где $d \alpha$ - бесконечно малый угол. Длина этого элемента равна $dl = a d \alpha$. На этот элемент с током $I$ действует сила Ампера, направленная перпендикулярно плоскости рисунка (от нас). Численно значение этой сила равно
$dF = Idl B \sin \alpha = IBa \sin \alpha d \alpha$.
Как видно из полученного выражения, сила Ампера при углах $0 < \alpha < \pi$ направлена от нас, а при углах $\pi < \alpha < 2 \pi$ - на нас. Следовательно, на обруч относительно оси $OO^{ \prime }$ будет действовать приподнимающий момент сил, которому будет препятствовать момент силы тяжести. Очевидно, что с увеличением силы тока момент сил Ампера будет расти, при некотором предельном значении силы тока $I_{п}$ он сравняется с моментом силы тяжести, и далее обруч начнет приподниматься, поворачиваясь вокруг оси $OO^{ \prime}$.
Запишем момент силы Ампера относительно оси $OO^{ \prime}$ для элемента $dl$:
$dM_{A} = - dF (a - a \sin \alpha ) = IBa^{2} ( \sin \alpha - 1) \sin \alpha \cdot d \alpha$.
Полный момент сил Ампера, действующий на весь обруч, очевидно, равен
$M_{A} = IBa^{2} \int_{0}^{2 \pi } ( \sin \alpha )^{2} d \alpha - IBa^{2} \int_{0}^{2 \pi } \sin \alpha d \alpha$.
Первый интеграл равен $\pi$, а второй равен нулю. Поэтому
$M_{A} = \pi IBa^{2}$.
Момент силы тяжести обруча относительно оси $OO^{ \prime}$ равен
$M_{т} = - Mga$.
Обруч начнет приподниматься, когда суммарный момент сил станет равным нулю:
$\pi I_{п} Ba^{2} - Mga = 0$.
Отсюда сила тока, при которой обруч начнет приподниматься, равна
$I_{п} = \frac{Mg}{ \pi Ba}$.
