Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15158
2021-04-14 
При производстве полиэтиленовой пленки широкая лента пленки протягивается по роликам со скоростью $v = 15 м/с$ (рис.). В процессе обработки (из-за трения) на поверхности пленки накапшва ется равномерно распреде-пенный поверхностный заряд. Определите максимальное значение индукции магнитного поля вблизи поверхности пленки, учитывая, что при напряженности электрического поля $E_{пр} = 30 кВ/см$ в воздухе возникает электрический разряд - пробой. Указание: индукция магнитного поля вблизи провода с током $I$ равна $B = \frac{ \mu_{0}I }{2 \pi r}$, где $r$ - расстояние до оси провода.
Решение:
Очевидно, что предельно допустимая величина напряженности электрического поля $E_{пр}$ определяет максимальное значение поверхностной плотности зарядов $\sigma_{max}$ на пленке. Используя связь между напряженностью электрического поля вблизи равномерно заряженной пластины и поверхностной плотностью зарядов, можно записать
$E_{пр} = \frac{ \sigma_{max} }{2 \epsilon_{0} }$.
Отсюда максимальная поверхностная плотность зарядов на пленке равна
$\sigma_{max} = 2 \epsilon_{0} E_{пр}$.
Поскольку образовавшиеся заряды движутся вместе с пленкой со скоростью $v$, можно говорить о протекании поверхностного тока плотностью
$j_{max} = \sigma_{max} v = 2 \epsilon_{0} E_{пр}v$.
Для определения индукции магнитного поля вблизи поверхности пленки рассмотрим рисунок, на котором поверхностный ток течет в горизонтальной плоскости, перпендикулярной плоскости рисунка, а пленка расположена в плоскости $x = 0$ и движется вдоль оси $z$ от нас. Найдем индукцию магнитного поля на расстоянии $a$ от пленки, ширина которой равна $2b$ ($a \ll b$). Для этого выделим два малых симметрично расположенных элемента шириной $dy$. Каждая полоска такой ширины соответствует току
$dI = j_{max}dy = 2 \epsilon_{0} E_{пр} vdy$.
Индукция $dB$, создаваемая двумя такими токами, направлена вдоль оси $y$ и численно равна
$dB = \frac{ \mu_{0}adI }{ \pi (a^{2} + y^{2} ) } = \frac{2 \mu_{0} \epsilon_{0} avE_{пр} dy }{ \pi (a^{2} + y^{2} ) }$.
Чтобы найти индукцию магнитного поля, создаваемую всеми поверхностными токами пленки, необходимо проинтегрировать по $y$ от 0 до $b$:
$B = \frac{2 \mu_{0} \epsilon_{0} av E_{пр} }{ \pi } \int_{0}^{b} \frac{dy}{a^{2} + y^{2} } = \frac{2 \mu_{0} \epsilon_{0} v E_{пр} }{ \pi } arctg \left . \frac{y}{a} \right |_{0}^{b}$.
Нас интересует индукция магнитного поля вблизи поверхности пленки, т.е. когда $b \gg a$. В этом случае можно считать, что $\frac{b}{a} = \infty$, а магнитная индукция равна
$B = \mu_{0} \epsilon_{0} v E_{пр} = 5 \cdot 10^{-10} Тл$.
При производстве полиэтиленовой пленки широкая лента пленки протягивается по роликам со скоростью $v = 15 м/с$ (рис.). В процессе обработки (из-за трения) на поверхности пленки накапшва ется равномерно распреде-пенный поверхностный заряд. Определите максимальное значение индукции магнитного поля вблизи поверхности пленки, учитывая, что при напряженности электрического поля $E_{пр} = 30 кВ/см$ в воздухе возникает электрический разряд - пробой. Указание: индукция магнитного поля вблизи провода с током $I$ равна $B = \frac{ \mu_{0}I }{2 \pi r}$, где $r$ - расстояние до оси провода.
Решение:
Очевидно, что предельно допустимая величина напряженности электрического поля $E_{пр}$ определяет максимальное значение поверхностной плотности зарядов $\sigma_{max}$ на пленке. Используя связь между напряженностью электрического поля вблизи равномерно заряженной пластины и поверхностной плотностью зарядов, можно записать
$E_{пр} = \frac{ \sigma_{max} }{2 \epsilon_{0} }$.
Отсюда максимальная поверхностная плотность зарядов на пленке равна
$\sigma_{max} = 2 \epsilon_{0} E_{пр}$.
Поскольку образовавшиеся заряды движутся вместе с пленкой со скоростью $v$, можно говорить о протекании поверхностного тока плотностью
$j_{max} = \sigma_{max} v = 2 \epsilon_{0} E_{пр}v$.
Для определения индукции магнитного поля вблизи поверхности пленки рассмотрим рисунок, на котором поверхностный ток течет в горизонтальной плоскости, перпендикулярной плоскости рисунка, а пленка расположена в плоскости $x = 0$ и движется вдоль оси $z$ от нас. Найдем индукцию магнитного поля на расстоянии $a$ от пленки, ширина которой равна $2b$ ($a \ll b$). Для этого выделим два малых симметрично расположенных элемента шириной $dy$. Каждая полоска такой ширины соответствует току
$dI = j_{max}dy = 2 \epsilon_{0} E_{пр} vdy$.
Индукция $dB$, создаваемая двумя такими токами, направлена вдоль оси $y$ и численно равна
$dB = \frac{ \mu_{0}adI }{ \pi (a^{2} + y^{2} ) } = \frac{2 \mu_{0} \epsilon_{0} avE_{пр} dy }{ \pi (a^{2} + y^{2} ) }$.
Чтобы найти индукцию магнитного поля, создаваемую всеми поверхностными токами пленки, необходимо проинтегрировать по $y$ от 0 до $b$:
$B = \frac{2 \mu_{0} \epsilon_{0} av E_{пр} }{ \pi } \int_{0}^{b} \frac{dy}{a^{2} + y^{2} } = \frac{2 \mu_{0} \epsilon_{0} v E_{пр} }{ \pi } arctg \left . \frac{y}{a} \right |_{0}^{b}$.
Нас интересует индукция магнитного поля вблизи поверхности пленки, т.е. когда $b \gg a$. В этом случае можно считать, что $\frac{b}{a} = \infty$, а магнитная индукция равна
$B = \mu_{0} \epsilon_{0} v E_{пр} = 5 \cdot 10^{-10} Тл$.
