Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15155
2021-04-14 
Батарея с ЭДС $\mathcal{E}$ подключена к удерживаемым неподвижно пластинам 1 и 3 плоского конденсатора (рис.). Площадь пластин $S$, расстояние между ними $d$. Посередине между этими пластинами расположена закрепленная неподвижно металлическая пластина 2, на которой находится заряд $Q$. Пластину 1 отпускают. Какую работу совершит батарея к моменту соударения пластин 1 и 2? Чему будет равна в этот момент кинетическая энергия пластины 1? Силой тяжести и внутренним сопротивлением батареи пренебречь.
Решение:
В исходном состоянии мы можем рассматривать пластины 1 и 3 как обкладки плоского конденсатора с расстоянием между пластинами $d$. Наличие заряженной пластины 2 не сказывается на разности потенциалов между пластинами 1 и 3, поскольку пластина 2 расположена посередине между ними. Емкость системы пластин, очевидно, равна
$C = \frac{ \epsilon S}{d}$,
а заряд на пластинах 1 и 3 равен
$Q_{1} = C \mathcal{E} = \frac{ \epsilon_{0}S \mathcal{E} }{d}$.
После того как пластину 1 отпустили, она начнет двигаться по направлению к пластине 2. В те моменты, когда расстояние между пластинами 1 и 2 будет меньше $d/2$, мы уже не можем рассматривать пластины 1 и 3 как обычный плоский конденсатор - в этом случае электрическое поле заряженной пластины 2 влияет на разность потенциалов между пластинами 1 и 3. Заряд на пластинах 1 и 3 в момент, когда пластина 1 подлетит к пластине 2, найдем из условия сохранения разности потенциалов на пластинах 1 и 3 равной $\mathcal{E}$.
Пусть в этот момент заряд на пластине 1 равен $-Q_{2}$, а на пластине 3 он равен $+Q_{2}$ (рис.), тогда
$\mathcal{E} = \left ( \frac{Q_{2}}{ \epsilon_{0}S } - \frac{Q}{2 \epsilon_{0}S } \right ) \frac{d}{2} $.
Отсюда
$Q_{2} = \frac{2 \epsilon_{0}S \mathcal{E} }{d} + \frac{Q}{2}$.
Первый член в выражении для $Q_{2}$ соответствует тому заряду, который был бы на пластинах 1 и 3, если бы на пластине 2 отсутствовал заряд (тогда пластины 1 и 3 можно было бы рассматривать как плоский конденсатор), а второй член отражает влияние заряженной пластины 2. Изменение заряда на пластинах 1 и 3 к моменту соударения пластин 1 и 2 будет равно
$\Delta Q = Q_{2} - Q_{1} = \frac{2 \epsilon_{0}S \mathcal{E} }{d} + \frac{Q}{2} - \frac{ \epsilon_{0}S \mathcal{E} }{d} = \frac{ \epsilon_{0}S \mathcal{E} }{d} + \frac{Q}{2}$.
За это время батарея совершит работу
$A = \Delta Q \mathcal{E} = \mathcal{E} \left ( \frac{ \epsilon_{0}S \mathcal{E} }{d} + \frac{Q}{2} \right )$.
Сравним величину найденной работы с изменением энергии электрического поля, создаваемого всеми тремя пластинами. Обозначим энергию электрического поля в исходном состоянии через $W_{1}$. Она включает в себя энергию электрического поля трех областей: I - область между пластинами 1 и 2 с объемом $V = \frac{Sd}{2}$, II - область между пластинами 2 и 3 с тем же объемом и III - область вне пластин 1 м 2. Напряженность электрического поля в области I является суперпозицией полей между пластинами 1 и 3 и полем пластины 2:
$E_{1} = \frac{ \mathcal{E} }{d} + \frac{Q}{2 \epsilon_{0}S }$.
Энергия поля в этой области равна
$W_{1} = \frac{ \epsilon_{0} E_{1}^{2} }{2} V = \frac{ \epsilon_{0}Sd }{4} \left ( \frac{ \mathcal{E} }{d} + \frac{Q}{2 \epsilon_{0}S } \right )^{2}$.
Во второй области
$E_{II} = \frac{ \mathcal{E} }{d} - \frac{Q}{2 \epsilon_{0}S }$,
$W_{II} = \frac{ \epsilon_{0}Sd }{4} \left ( \frac{ \mathcal{E}}{d} - \frac{Q}{2 \epsilon_{0}S } \right )^{2}$.
Энергию поля в третьей области обозначим через $W_{III}$. Полная энергия поля в исходном состоянии есть
$W_{I} = W_{I} + W_{II} + W_{III} = \frac{ \epsilon_{0}Sd }{2} \left ( \frac{ \mathcal{E}^{2} }{d^{2} } + \frac{Q^{2} }{4 \epsilon_{0}^{2} S^{2} } \right ) + W_{III}$.
Во втором случае, когда пластина 1 сталкивается с пластиной 2, мы рассмотрим те же три области. Мысленно выделим первую область. Поле в ней создается только зарядом пластины 2, поэтому
$E_{1}^{ \prime } = \frac{Q}{2 \epsilon_{0}S }$,
$W_{1}^{ \prime } = \frac{ \epsilon_{0}E_{1}^{ \prime 2} }{2} S \frac{d}{2} = \frac{Q^{2}d }{16 \epsilon_{0}S }$.
Во второй области
$E_{II}^{ \prime } = \frac{ \mathcal{E} }{d/2} = \frac{2 \mathcal{E} }{d}$,
$W_{II }^{ \prime } = \frac{ \epsilon_{0} E_{II}^{ \prime 2} }{2} S \frac{d}{2} = \frac{ \epsilon_{0}S \mathcal{E}^{2} }{d}$.
В третьей области электрическое поле такое же, как и в исходном состоянии ( $W_{III}^{ \prime} = W_{III}$). Общая энергия поля во втором состоянии равна
$W_{2} = W_{1}^{ \prime } + W_{II}^{ \prime} + W_{III}^{ \prime } = \frac{Q^{2}d }{16 \epsilon_{0}S } + \frac{ \epsilon_{0}S \mathcal{E}^{2} }{d} + W_{III}$.
Изменение энергии электрического поля за время сближения пластин 1 и 2 составляет
$\Delta W = W_{2} - W_{1} = \frac{ \epsilon_{0}S \mathcal{E}^{2} }{2d} - \frac{Q^{2}d }{16 \epsilon_{0}S }$.
Если мы сравним работу $A$, совершенную батареей, с изменением энергии поля, то увидим, что $A > \Delta W$. Очевидно, что избыток работы перешел в кинетическую энергию, которую приобрела пластина 1. Эта энергия равна
$W_{к} = A - \Delta W = \frac{ \epsilon_{0}S \mathcal{E}^{2} }{2d} + \frac{Q \mathcal{E} }{2} + \frac{Q^{2}d }{16 \epsilon_{0}S }$.
Батарея с ЭДС $\mathcal{E}$ подключена к удерживаемым неподвижно пластинам 1 и 3 плоского конденсатора (рис.). Площадь пластин $S$, расстояние между ними $d$. Посередине между этими пластинами расположена закрепленная неподвижно металлическая пластина 2, на которой находится заряд $Q$. Пластину 1 отпускают. Какую работу совершит батарея к моменту соударения пластин 1 и 2? Чему будет равна в этот момент кинетическая энергия пластины 1? Силой тяжести и внутренним сопротивлением батареи пренебречь.
Решение:
В исходном состоянии мы можем рассматривать пластины 1 и 3 как обкладки плоского конденсатора с расстоянием между пластинами $d$. Наличие заряженной пластины 2 не сказывается на разности потенциалов между пластинами 1 и 3, поскольку пластина 2 расположена посередине между ними. Емкость системы пластин, очевидно, равна
$C = \frac{ \epsilon S}{d}$,
а заряд на пластинах 1 и 3 равен
$Q_{1} = C \mathcal{E} = \frac{ \epsilon_{0}S \mathcal{E} }{d}$.
После того как пластину 1 отпустили, она начнет двигаться по направлению к пластине 2. В те моменты, когда расстояние между пластинами 1 и 2 будет меньше $d/2$, мы уже не можем рассматривать пластины 1 и 3 как обычный плоский конденсатор - в этом случае электрическое поле заряженной пластины 2 влияет на разность потенциалов между пластинами 1 и 3. Заряд на пластинах 1 и 3 в момент, когда пластина 1 подлетит к пластине 2, найдем из условия сохранения разности потенциалов на пластинах 1 и 3 равной $\mathcal{E}$.
Пусть в этот момент заряд на пластине 1 равен $-Q_{2}$, а на пластине 3 он равен $+Q_{2}$ (рис.), тогда
$\mathcal{E} = \left ( \frac{Q_{2}}{ \epsilon_{0}S } - \frac{Q}{2 \epsilon_{0}S } \right ) \frac{d}{2} $.
Отсюда
$Q_{2} = \frac{2 \epsilon_{0}S \mathcal{E} }{d} + \frac{Q}{2}$.
Первый член в выражении для $Q_{2}$ соответствует тому заряду, который был бы на пластинах 1 и 3, если бы на пластине 2 отсутствовал заряд (тогда пластины 1 и 3 можно было бы рассматривать как плоский конденсатор), а второй член отражает влияние заряженной пластины 2. Изменение заряда на пластинах 1 и 3 к моменту соударения пластин 1 и 2 будет равно
$\Delta Q = Q_{2} - Q_{1} = \frac{2 \epsilon_{0}S \mathcal{E} }{d} + \frac{Q}{2} - \frac{ \epsilon_{0}S \mathcal{E} }{d} = \frac{ \epsilon_{0}S \mathcal{E} }{d} + \frac{Q}{2}$.
За это время батарея совершит работу
$A = \Delta Q \mathcal{E} = \mathcal{E} \left ( \frac{ \epsilon_{0}S \mathcal{E} }{d} + \frac{Q}{2} \right )$.
Сравним величину найденной работы с изменением энергии электрического поля, создаваемого всеми тремя пластинами. Обозначим энергию электрического поля в исходном состоянии через $W_{1}$. Она включает в себя энергию электрического поля трех областей: I - область между пластинами 1 и 2 с объемом $V = \frac{Sd}{2}$, II - область между пластинами 2 и 3 с тем же объемом и III - область вне пластин 1 м 2. Напряженность электрического поля в области I является суперпозицией полей между пластинами 1 и 3 и полем пластины 2:
$E_{1} = \frac{ \mathcal{E} }{d} + \frac{Q}{2 \epsilon_{0}S }$.
Энергия поля в этой области равна
$W_{1} = \frac{ \epsilon_{0} E_{1}^{2} }{2} V = \frac{ \epsilon_{0}Sd }{4} \left ( \frac{ \mathcal{E} }{d} + \frac{Q}{2 \epsilon_{0}S } \right )^{2}$.
Во второй области
$E_{II} = \frac{ \mathcal{E} }{d} - \frac{Q}{2 \epsilon_{0}S }$,
$W_{II} = \frac{ \epsilon_{0}Sd }{4} \left ( \frac{ \mathcal{E}}{d} - \frac{Q}{2 \epsilon_{0}S } \right )^{2}$.
Энергию поля в третьей области обозначим через $W_{III}$. Полная энергия поля в исходном состоянии есть
$W_{I} = W_{I} + W_{II} + W_{III} = \frac{ \epsilon_{0}Sd }{2} \left ( \frac{ \mathcal{E}^{2} }{d^{2} } + \frac{Q^{2} }{4 \epsilon_{0}^{2} S^{2} } \right ) + W_{III}$.
Во втором случае, когда пластина 1 сталкивается с пластиной 2, мы рассмотрим те же три области. Мысленно выделим первую область. Поле в ней создается только зарядом пластины 2, поэтому
$E_{1}^{ \prime } = \frac{Q}{2 \epsilon_{0}S }$,
$W_{1}^{ \prime } = \frac{ \epsilon_{0}E_{1}^{ \prime 2} }{2} S \frac{d}{2} = \frac{Q^{2}d }{16 \epsilon_{0}S }$.
Во второй области
$E_{II}^{ \prime } = \frac{ \mathcal{E} }{d/2} = \frac{2 \mathcal{E} }{d}$,
$W_{II }^{ \prime } = \frac{ \epsilon_{0} E_{II}^{ \prime 2} }{2} S \frac{d}{2} = \frac{ \epsilon_{0}S \mathcal{E}^{2} }{d}$.
В третьей области электрическое поле такое же, как и в исходном состоянии ( $W_{III}^{ \prime} = W_{III}$). Общая энергия поля во втором состоянии равна
$W_{2} = W_{1}^{ \prime } + W_{II}^{ \prime} + W_{III}^{ \prime } = \frac{Q^{2}d }{16 \epsilon_{0}S } + \frac{ \epsilon_{0}S \mathcal{E}^{2} }{d} + W_{III}$.
Изменение энергии электрического поля за время сближения пластин 1 и 2 составляет
$\Delta W = W_{2} - W_{1} = \frac{ \epsilon_{0}S \mathcal{E}^{2} }{2d} - \frac{Q^{2}d }{16 \epsilon_{0}S }$.
Если мы сравним работу $A$, совершенную батареей, с изменением энергии поля, то увидим, что $A > \Delta W$. Очевидно, что избыток работы перешел в кинетическую энергию, которую приобрела пластина 1. Эта энергия равна
$W_{к} = A - \Delta W = \frac{ \epsilon_{0}S \mathcal{E}^{2} }{2d} + \frac{Q \mathcal{E} }{2} + \frac{Q^{2}d }{16 \epsilon_{0}S }$.
