Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15154
2021-04-14 
Плоский конденсатор с площадью пластин $S$ и расстоянием между ними $d$ подключен к источнику с постоянной ЭДС $\mathcal{E}$ (рис.). Какую минимальную работу необходимо совершить, чтобы в пространство между пластинами конденсатора ввести металлическую пластину толщиной $L$ ($L < d$)? Внутренним сопротивлением батареи пренебречь.
Решение:
В исходном состоянии мы имеем конденсатор емкостью
$C_{1} = \frac{ \epsilon_{0}S }{d}$,
подключенный к батарее с ЭДС $\mathcal{E}$. Заряд этого конденсатора равен
$Q_{1} = C_{1} \mathcal{E} = \frac{ \epsilon_{0}S \mathcal{E} }{d}$,
энергия конденсатора равна
$W_{1} = \frac{C_{1} \mathcal{E}^{2} }{2} = \frac{ \epsilon_{0}S \mathcal{E}^{2} }{2d}$.
После введения металлической пластины в пространство между пластинами конденсатора емкость между исходными пластинами изменится. Найдем эту емкость.
Обозначим воздушный зазор между верхней пластиной конденсатора и верхней поверхностью введенной металлической пластины через $x$. Тогда наша система будет эквивалентна двум последовательно соединенным плоским конденсаторам с расстояниями между пластинами $x$ и $x - L - x$ (рис.). Емкость такой системы, очевидно, равна
$C_{2} = \frac{ \frac{ \epsilon_{0}S }{x} \frac{ \epsilon_{0}S }{d - L - x} }{ \frac{ \epsilon_{0}S }{x} + \frac{ \epsilon_{0}S }{d - L - x} } = \frac{ \epsilon_{0}S }{d - L}$.
Как видно из полученного выражения, емкость $C_{2}$ не зависит от $x$, т.е. от взаимного расположения проводящей пластины и обкладок конденсатора.
Новый заряд $Q_{2}$ на пластинах конденсатора после введения проводящей пластины будет
$Q_{2} = C_{2} \mathcal{E} = \frac{ \epsilon_{0}S \mathcal{E} }{d - L }$,
а новая энергия заряженного конденсатора -
$W_{2} = \frac{C_{2} \mathcal{E}^{2} }{2} = \frac{ \epsilon_{0}S \mathcal{E}^{2} }{2(d - L)}$.
По закону сохранения энергии, работа $A_{ \mathcal{E} }$, совершенная батареей, плюс механическая работа $A$, затраченная на введение пластины, пошли на изменение энергии конденсатора. Работа, совершенная батареей, очевидно, равна
$A_{ \mathcal{E} } = \mathcal{E} (Q_{2} - Q_{1} ) = \epsilon_{0} S \mathcal{E}^{2} \left ( \frac{1}{d - L} - \frac{1}{d} \right ) = \frac{ \epsilon_{0}S \mathcal{E}^{2}L }{d(d - L)}$.
Изменение энергии конденсатора составляет
$\Delta W = W_{2} - W_{1} = \frac{ \epsilon_{0}S \mathcal{E}^{2} }{2d(d - L)} - \frac{ \epsilon_{0}S \mathcal{E}^{2} }{2d} = \frac{ \epsilon_{0}S \mathcal{E}^{2}L }{2d(d - L)}$.
Тогда механическая работа, совершенная при введении пластины, будет равна
$A = \Delta W - A_{ \mathcal{E} } = \frac{ \epsilon_{0}S \mathcal{E}^{2}L }{2d(d - L)} - \frac{ \epsilon_{0}S \mathcal{E}^{2}L }{d(d - L)} = - \frac{ \epsilon_{0}S \mathcal{E}^{2} L }{2d(d - L)}$.
Полученный знак «минус» означает, что при введении пластины она будет втягиваться в конденсатор, а мы будем совершать отрицательную работу.
Плоский конденсатор с площадью пластин $S$ и расстоянием между ними $d$ подключен к источнику с постоянной ЭДС $\mathcal{E}$ (рис.). Какую минимальную работу необходимо совершить, чтобы в пространство между пластинами конденсатора ввести металлическую пластину толщиной $L$ ($L < d$)? Внутренним сопротивлением батареи пренебречь.
Решение:
В исходном состоянии мы имеем конденсатор емкостью
$C_{1} = \frac{ \epsilon_{0}S }{d}$,
подключенный к батарее с ЭДС $\mathcal{E}$. Заряд этого конденсатора равен
$Q_{1} = C_{1} \mathcal{E} = \frac{ \epsilon_{0}S \mathcal{E} }{d}$,
энергия конденсатора равна
$W_{1} = \frac{C_{1} \mathcal{E}^{2} }{2} = \frac{ \epsilon_{0}S \mathcal{E}^{2} }{2d}$.
После введения металлической пластины в пространство между пластинами конденсатора емкость между исходными пластинами изменится. Найдем эту емкость.
Обозначим воздушный зазор между верхней пластиной конденсатора и верхней поверхностью введенной металлической пластины через $x$. Тогда наша система будет эквивалентна двум последовательно соединенным плоским конденсаторам с расстояниями между пластинами $x$ и $x - L - x$ (рис.). Емкость такой системы, очевидно, равна
$C_{2} = \frac{ \frac{ \epsilon_{0}S }{x} \frac{ \epsilon_{0}S }{d - L - x} }{ \frac{ \epsilon_{0}S }{x} + \frac{ \epsilon_{0}S }{d - L - x} } = \frac{ \epsilon_{0}S }{d - L}$.
Как видно из полученного выражения, емкость $C_{2}$ не зависит от $x$, т.е. от взаимного расположения проводящей пластины и обкладок конденсатора.
Новый заряд $Q_{2}$ на пластинах конденсатора после введения проводящей пластины будет
$Q_{2} = C_{2} \mathcal{E} = \frac{ \epsilon_{0}S \mathcal{E} }{d - L }$,
а новая энергия заряженного конденсатора -
$W_{2} = \frac{C_{2} \mathcal{E}^{2} }{2} = \frac{ \epsilon_{0}S \mathcal{E}^{2} }{2(d - L)}$.
По закону сохранения энергии, работа $A_{ \mathcal{E} }$, совершенная батареей, плюс механическая работа $A$, затраченная на введение пластины, пошли на изменение энергии конденсатора. Работа, совершенная батареей, очевидно, равна
$A_{ \mathcal{E} } = \mathcal{E} (Q_{2} - Q_{1} ) = \epsilon_{0} S \mathcal{E}^{2} \left ( \frac{1}{d - L} - \frac{1}{d} \right ) = \frac{ \epsilon_{0}S \mathcal{E}^{2}L }{d(d - L)}$.
Изменение энергии конденсатора составляет
$\Delta W = W_{2} - W_{1} = \frac{ \epsilon_{0}S \mathcal{E}^{2} }{2d(d - L)} - \frac{ \epsilon_{0}S \mathcal{E}^{2} }{2d} = \frac{ \epsilon_{0}S \mathcal{E}^{2}L }{2d(d - L)}$.
Тогда механическая работа, совершенная при введении пластины, будет равна
$A = \Delta W - A_{ \mathcal{E} } = \frac{ \epsilon_{0}S \mathcal{E}^{2}L }{2d(d - L)} - \frac{ \epsilon_{0}S \mathcal{E}^{2}L }{d(d - L)} = - \frac{ \epsilon_{0}S \mathcal{E}^{2} L }{2d(d - L)}$.
Полученный знак «минус» означает, что при введении пластины она будет втягиваться в конденсатор, а мы будем совершать отрицательную работу.
