2021-04-14
Человеку, идущему по горизонтальному участку дороги в пасмурный безветренный день, небольшая лужа, видневшаяся вдалеке на дороге, показалась синего цвета. На каком расстоянии $s$ от этой лужи она будет казаться человеку зеленой? Считать, что глаза человека находятся все время на высоте $h = 1,85 м$ от дороги. Показатель преломления очень тонкой пленки бесцветного масла на поверхности лужи $n = 1,5$, а воды $n_{в} = 1,33$. Длина волны света синего цвета $\lambda_{c} =0,43 мкм$, а зеленого $\lambda_{з} = 0,53 мкм$.
Решение:
Рассматриваемые события происходят в пасмурный безветренный день, поэтому можно считать, что границы воздух-масло и масло-вода совпадают с горизонтальными плоскостями, а лужа освещается рассеянным белым светом. Изменение же цвета лужи обусловлено интерференцией света, отражающегося от указанных границ. Учитывая малый размер зрачка глаза человека по сравнению даже с минимально возможным расстоянием от глаза до поверхности лужи, попадающие в глаз человека световые лучи следует считать параллельными. Согласно рисунку a, эти лучи образуют с горизонтом угол $\alpha$, определяемый соотношением $tg \alpha = \frac{h}{s}$.
На рисунке б показаны два из регистрируемых человеком лучей. Первый луч возникает при отражении от верхней, а второй - от нижней поверхностей масляной пленки. Поскольку показатель преломления масла больше показателя преломления воздуха ($n_{воз} = 1$), а показатель преломления воды меньше показателя преломления масла, то разность фаз падающего и отраженного от верхней границы света должна быть равна $\pi$, а от нижней границы - нулю. Другими словами, при отражении от оптически более плотной среды происходит «потеря половины длины волны» падающего света. Поэтому величину разности хода между лучами 1 и 2, возникающими при отражении луча, подающего на пленку масла под углом $\phi = \frac{ \pi}{2} - \alpha$ к вертикали, можно вычислить по формуле
$\Delta = \frac{2nd}{ \cos \beta } - 2d tg \beta \sin \phi + \frac{ \lambda }{2}$,
где $d$ - толщина масляной пленки, а угол $\beta$ согласно закону преломления определяется из соотношения $\sin \phi = n \sin \beta$. С учетом этого соотношения формулу для вычисления разности хода можно представить в виде
$\Delta = 2 d \sqrt{n^{2} - \cos^{2} \alpha} + \frac{ \lambda }{2}$.
Из условия образования максимумов в интерференционной картине получаем, что цвет лужи, когда человек находится от нее на расстоянии $s$, должен соответствовать такой длине волны света $\lambda(s)$, что $\Delta (s) = \lambda (s)$. Следовательно, когда человек первоначально заметил лужу, т.е. при $s \rightarrow \infty$, или $\alpha \rightarrow 0$, должно было выполняться соотношение
$4d \sqrt{n^{2} - 1 } = \lambda_{c}$,
а в тот момент, когда кажущийся человеку цвет лужи стал зеленым, попадающие в глаз человека лучи должны были образовывать с горизонтом такой угол $\alpha_{3}$, что
$\cos^{2} \alpha_{3} = n^{2} - (n^{2} - 1) \left ( \frac{ \lambda_{3} }{ \lambda_{с} } \right )^{2} \approx 0,35$.
Следовательно, человек должен был увидеть лужу зеленой, когда он подошел к ней на расстояние
$s = h ctg \alpha_{3} = \frac{h}{ \sqrt{ \frac{1}{ \cos^{2} \alpha_{3} } - 1 } } = 1,36 м$.