Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15146
2021-04-14 
Из изолированной тонкой проволоки изготовлена замкнутая плоская петля, состоящая из двух окружностей (рис.). Радиус большой окружности $R_{1}$, малой $R_{2}$. Петля находится в однородном магнитном поле, перпендикулярном ее плоскости. Индукция поля возрастает с постоянной скоростью- Во сколько раз изменится разность потенциалов между точками, расположенными одна над другой в месте скрещивания проводов, если меньшую окружность повернуть вокруг оси ОО на $180^{ \circ}$?
Решение:
При решении задачи будем пренебрегать магнитным потоком, пронизывающим материал проволоки, поскольку по условию задачи проволока тонкая. В силу этой же причины площадь, ограниченную каждой из окружностей, образующих петлю, будем считать равной $\pi R_{i}^{2}$, где $R_{i}$ - радиус i-й окружности. Тогда, учитывая, что скорость нарастания индукции внешнего магнитного поля $\frac{ \Delta B}{ \Delta t}$ постоянна, и считая источник магнитного поля и петлю покоящимися относительно некоторой инерциальной системы отсчета, на основании закона электромагнитной индукции можно утверждать, что величины ЭДС в первой и второй частях петли равны
$\mathcal{E}_{i} = \pi R_{i}^{2} \frac{ \Delta B}{ \Delta t}$.
Если за положительное принять направление тока, который существовал бы в петле в отсутствие ЭДС во второй ее части, то действующую в первой части петли ЭДС следует считать положительной. Сторонние электрические силы, действующие в кольцах петли до поворота меньшей окружности, направлены в противоположные стороны, так как направления обхода колец взаимно противоположны (см. рис.). Поэтому согласно закону Ома для замкнутой цепи установившийся ток в петле до поворота малой окружности должен быть равен
$I_{н} = \frac{ \mathcal{E}_{1} - \mathcal{E}_{2}}{r_{1} + r_{2} }$,
где $r_{1}$ и $r_{2}$ - сопротивления большой и малой окружностей соответственно. Отсюда на основании закона Ома для участка цепи, содержащего ЭДС, следует, что в рассматриваемом случае разность потенциалов между заданными точками равна
$\Delta \phi_{н} = \mathcal{E}_{1} - I_{н}r_{1}$.
После поворота на $180^{ \circ }$ малой окружности действующая в ней ЭДС изменяет направление на противоположное. Поэтому установившийся ток в петле станет равным
$I_{к} = \frac{ \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} }{r_{1} + r_{2} }$,
а интересующую разность потенциалов можно будет найти по формуле
$\Delta \phi_{к} = \mathcal{E}_{1} - I_{к}r_{1}$.
Поскольку сопротивления первой и второй окружностей прямо пропорциональны их радиусам, то из приведенных выше соотношений для искомого отношения разностей потенциалов
между заданными точками петли получим
$\frac{ \Delta \phi_{к}}{ \Delta \phi_{н} } = \frac{ \mathcal{E}_{1} r_{2} - \mathcal{E}_{2}r_{1}}{ \mathcal{E}_{1}r_{2} + \mathcal{E}_{2}r_{1} } = \frac{R_{1} - R_{2} }{R_{1} + R_{2} }$.
Из изолированной тонкой проволоки изготовлена замкнутая плоская петля, состоящая из двух окружностей (рис.). Радиус большой окружности $R_{1}$, малой $R_{2}$. Петля находится в однородном магнитном поле, перпендикулярном ее плоскости. Индукция поля возрастает с постоянной скоростью- Во сколько раз изменится разность потенциалов между точками, расположенными одна над другой в месте скрещивания проводов, если меньшую окружность повернуть вокруг оси ОО на $180^{ \circ}$?
Решение:
При решении задачи будем пренебрегать магнитным потоком, пронизывающим материал проволоки, поскольку по условию задачи проволока тонкая. В силу этой же причины площадь, ограниченную каждой из окружностей, образующих петлю, будем считать равной $\pi R_{i}^{2}$, где $R_{i}$ - радиус i-й окружности. Тогда, учитывая, что скорость нарастания индукции внешнего магнитного поля $\frac{ \Delta B}{ \Delta t}$ постоянна, и считая источник магнитного поля и петлю покоящимися относительно некоторой инерциальной системы отсчета, на основании закона электромагнитной индукции можно утверждать, что величины ЭДС в первой и второй частях петли равны
$\mathcal{E}_{i} = \pi R_{i}^{2} \frac{ \Delta B}{ \Delta t}$.
Если за положительное принять направление тока, который существовал бы в петле в отсутствие ЭДС во второй ее части, то действующую в первой части петли ЭДС следует считать положительной. Сторонние электрические силы, действующие в кольцах петли до поворота меньшей окружности, направлены в противоположные стороны, так как направления обхода колец взаимно противоположны (см. рис.). Поэтому согласно закону Ома для замкнутой цепи установившийся ток в петле до поворота малой окружности должен быть равен
$I_{н} = \frac{ \mathcal{E}_{1} - \mathcal{E}_{2}}{r_{1} + r_{2} }$,
где $r_{1}$ и $r_{2}$ - сопротивления большой и малой окружностей соответственно. Отсюда на основании закона Ома для участка цепи, содержащего ЭДС, следует, что в рассматриваемом случае разность потенциалов между заданными точками равна
$\Delta \phi_{н} = \mathcal{E}_{1} - I_{н}r_{1}$.
После поворота на $180^{ \circ }$ малой окружности действующая в ней ЭДС изменяет направление на противоположное. Поэтому установившийся ток в петле станет равным
$I_{к} = \frac{ \mathcal{E}_{1} + \mathcal{E}_{2} }{r_{1} + r_{2} }$,
а интересующую разность потенциалов можно будет найти по формуле
$\Delta \phi_{к} = \mathcal{E}_{1} - I_{к}r_{1}$.
Поскольку сопротивления первой и второй окружностей прямо пропорциональны их радиусам, то из приведенных выше соотношений для искомого отношения разностей потенциалов
между заданными точками петли получим
$\frac{ \Delta \phi_{к}}{ \Delta \phi_{н} } = \frac{ \mathcal{E}_{1} r_{2} - \mathcal{E}_{2}r_{1}}{ \mathcal{E}_{1}r_{2} + \mathcal{E}_{2}r_{1} } = \frac{R_{1} - R_{2} }{R_{1} + R_{2} }$.
