Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15142
2021-04-14 
Первоначально пустой теплоизолирующий сосуд с маленькой дыркой на длительное время помещают в большой термостат, заполненный неоном. Температура содержимого сосуда поддерживается равной $T_{1}$, а содержимого термостата - равной $T_{2}$. Давление неона в термостате установилось равным $p_{2}$, причем столь малым, что влетающие и вылетающие из сосуда атомы не сталкиваются между собой в дырке. Найдите давление $p_{1}$ в сосуде.
Решение:
По условию задачи, температуры содержимого сосуда и термостата длительное время поддерживаются постоянными, поэтому можно считать, что и в термостате, и в сосуде к интересующему моменту времени устанавливается состояние термодинамического равновесия. Следовательно, относительно инерциальной системы отсчета, в которой центры масс термостата и сосуда с их содержимым покоятся, движение частиц газа является полностью хаотичным, а потому в этой системе отсчета все направления являются равновероятными. Поскольку влетающие и вылетающие из сосуда атомы не сталкиваются между собой в дырке, можно утверждать, что число $N_{1}$ вылетающих из сосуда атомов и число $N_{2}$ влетающих в него за время $\tau$ определяются средними скоростями движения атомов и их концентрациями в сосуде и термостате соответственно. Если средние величины скоростей движения атомов неона в сосуде и в термостате вдоль оси X, перпендикулярной плоскости дырки, обозначить $v_{1x}$ и $v_{2x}$ соответственно, то
$N_{1} = \frac{1}{2}v_{1x}sn_{1} \tau$ и $N_{2} = \frac{1}{2} v_{2x}sn_{2} \tau$,
где $s$ - площадь дырки, а $n_{1}$ и $n_{2}$ - концентрации атомов в сосуде и термостате соответственно.
Будем считать, что неон подчиняется уравнению состояния идеального газа. Тогда концентрации неона и его температуры должны удовлетворять соотношениям
$p_{1} = n_{1}kT_{1}$ и $p_{2} = n_{2}kT_{2}$,
где $k$ - постоянная Больцмана, а $T_{i}$ - абсолютные температуры неона.
Учитывая, что абсолютная температура $T$ и средняя квадратичная скорость $v_{ср}$ хаотического движения частиц массой $m$ связаны между собой соотношением $3kT = mv_{ср}^{2}$, a $v_{срi}$ и $v_{ix}$ пропорциональны друг другу, получим, что
$n_{1} \sqrt{T_{1} } = n_{2} \sqrt{T_{2}}$.
Следовательно, в сосуде должно установиться давление
$p_{1} = p_{2} \sqrt{ \frac{T_{1} }{T_{2} } }$.
Первоначально пустой теплоизолирующий сосуд с маленькой дыркой на длительное время помещают в большой термостат, заполненный неоном. Температура содержимого сосуда поддерживается равной $T_{1}$, а содержимого термостата - равной $T_{2}$. Давление неона в термостате установилось равным $p_{2}$, причем столь малым, что влетающие и вылетающие из сосуда атомы не сталкиваются между собой в дырке. Найдите давление $p_{1}$ в сосуде.
Решение:
По условию задачи, температуры содержимого сосуда и термостата длительное время поддерживаются постоянными, поэтому можно считать, что и в термостате, и в сосуде к интересующему моменту времени устанавливается состояние термодинамического равновесия. Следовательно, относительно инерциальной системы отсчета, в которой центры масс термостата и сосуда с их содержимым покоятся, движение частиц газа является полностью хаотичным, а потому в этой системе отсчета все направления являются равновероятными. Поскольку влетающие и вылетающие из сосуда атомы не сталкиваются между собой в дырке, можно утверждать, что число $N_{1}$ вылетающих из сосуда атомов и число $N_{2}$ влетающих в него за время $\tau$ определяются средними скоростями движения атомов и их концентрациями в сосуде и термостате соответственно. Если средние величины скоростей движения атомов неона в сосуде и в термостате вдоль оси X, перпендикулярной плоскости дырки, обозначить $v_{1x}$ и $v_{2x}$ соответственно, то
$N_{1} = \frac{1}{2}v_{1x}sn_{1} \tau$ и $N_{2} = \frac{1}{2} v_{2x}sn_{2} \tau$,
где $s$ - площадь дырки, а $n_{1}$ и $n_{2}$ - концентрации атомов в сосуде и термостате соответственно.
Будем считать, что неон подчиняется уравнению состояния идеального газа. Тогда концентрации неона и его температуры должны удовлетворять соотношениям
$p_{1} = n_{1}kT_{1}$ и $p_{2} = n_{2}kT_{2}$,
где $k$ - постоянная Больцмана, а $T_{i}$ - абсолютные температуры неона.
Учитывая, что абсолютная температура $T$ и средняя квадратичная скорость $v_{ср}$ хаотического движения частиц массой $m$ связаны между собой соотношением $3kT = mv_{ср}^{2}$, a $v_{срi}$ и $v_{ix}$ пропорциональны друг другу, получим, что
$n_{1} \sqrt{T_{1} } = n_{2} \sqrt{T_{2}}$.
Следовательно, в сосуде должно установиться давление
$p_{1} = p_{2} \sqrt{ \frac{T_{1} }{T_{2} } }$.
