Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15140
2021-04-14 
На край стола поставили вертикально невесомой стержень длиной $L$, на концах которого закреплены маленькие тяжелые одинаковые шарики А и В, а затем его отпустили без начальной скорости. Стержень стал падать в направлении, указанном изогнутой стрелкой на рисунке, оставаясь в вертикальной плоскости, перпендикулярной краю стола. С какой угловой скоростью будет вращаться стержень после отрыва от стола, если до этого шарик В не скользил по столу?
Решение:
Будем считать, что лабораторная система отсчета, связанная со столом, является инерциальной и что можно пренебречь влиянием воздуха на движущиеся шарики и стержень.
В момент отрыва шарика В действующая на него со стороны стола сила реакции обращается в ноль и остаются сила $\vec{T}_{B}$ со стороны стержня и сила тяжести $m \vec{g}$, где $m$ - масса шарика, а $\vec{g}$ — ускорение свободного падения (рис.). Следовательно, в момент отрыва
$T_{B} = mg \cos \alpha$,
где $\alpha$ - угол между осью стержня и вертикалью в этот момент времени.
По третьему закону Ньютона сила $\vec{T}_{B}$ должна быть равна по величине силе, действующей на стержень со стороны шарика В. Поскольку на стержень может еще действовать только шарик А, то можно утверждать, что со стороны стержня на шарик А действует сила $\vec{T}_{A} = - \vec{T}_{B}$. В момент отрыва шарика В шарик А будет двигаться по дуге окружности радиусом $L$. Поэтому, пренебрегая размерами шарика А, согласно второму закону Ньютона запишем
$\frac{mv_{0}^{2}}{L} = mg \cos \alpha + T_{A}$,\
где $v_{0}$ - скорость шарика А в указанный момент времени. Для нахождения скорости воспользуемся законом сохранения механической энергии системы, состоящей из шариков, стержня и Земли (эту систему по условию задачи и в силу сделанных предположений можно считать изолированной и консервативной). Учитывая малые размеры шариков, будем считать, что кинетическая энергия шарика В с момента начала движения стержня до момента его отрыва (включая и этот момент времени) остается равной нулю, а кинетическая энергия шарика А в момент отрыва равна $\frac{mv_{0}^{2}}{2}$ . Хотя приращения импульсов Земли и шарика А должны быть равны по модулю (согласно закону сохранения импульса), приращением кинетической энергии Земли следует пренебречь, так как ее масса несравнимо больше массы шарика, а потому ее можно считать неподвижной относительно выбранной инерциальной системы отсчета. Убыль же потенциальной энергии указанной системы тел при падении стержня в течение указанного промежутка времени можно считать обусловленной лишь изменением расположения шарика А относительно Земли. Поэтому запишем
$\frac{1}{2} mv_{0}^{2} = mgL(1 - \cos \alpha )$.
Из полученных уравнений следует, что в момент отрыва шарика В ось стержня должна образовывать с вертикалью такой угол $\alpha$, что его косинус равен $\frac{1}{2}$, а скорость движения шарика А равна $v_{0} = \sqrt{gL}$. Поскольку в интересующий момент шарик А движется по дуге окружности радиусом $L$, искомая угловая скорость вращения стержня будет равна
$\omega = \frac{v_{0} }{L} = \sqrt{ \frac{g}{L} }$.
На край стола поставили вертикально невесомой стержень длиной $L$, на концах которого закреплены маленькие тяжелые одинаковые шарики А и В, а затем его отпустили без начальной скорости. Стержень стал падать в направлении, указанном изогнутой стрелкой на рисунке, оставаясь в вертикальной плоскости, перпендикулярной краю стола. С какой угловой скоростью будет вращаться стержень после отрыва от стола, если до этого шарик В не скользил по столу?
Решение:
Будем считать, что лабораторная система отсчета, связанная со столом, является инерциальной и что можно пренебречь влиянием воздуха на движущиеся шарики и стержень.
В момент отрыва шарика В действующая на него со стороны стола сила реакции обращается в ноль и остаются сила $\vec{T}_{B}$ со стороны стержня и сила тяжести $m \vec{g}$, где $m$ - масса шарика, а $\vec{g}$ — ускорение свободного падения (рис.). Следовательно, в момент отрыва
$T_{B} = mg \cos \alpha$,
где $\alpha$ - угол между осью стержня и вертикалью в этот момент времени.
По третьему закону Ньютона сила $\vec{T}_{B}$ должна быть равна по величине силе, действующей на стержень со стороны шарика В. Поскольку на стержень может еще действовать только шарик А, то можно утверждать, что со стороны стержня на шарик А действует сила $\vec{T}_{A} = - \vec{T}_{B}$. В момент отрыва шарика В шарик А будет двигаться по дуге окружности радиусом $L$. Поэтому, пренебрегая размерами шарика А, согласно второму закону Ньютона запишем
$\frac{mv_{0}^{2}}{L} = mg \cos \alpha + T_{A}$,\
где $v_{0}$ - скорость шарика А в указанный момент времени. Для нахождения скорости воспользуемся законом сохранения механической энергии системы, состоящей из шариков, стержня и Земли (эту систему по условию задачи и в силу сделанных предположений можно считать изолированной и консервативной). Учитывая малые размеры шариков, будем считать, что кинетическая энергия шарика В с момента начала движения стержня до момента его отрыва (включая и этот момент времени) остается равной нулю, а кинетическая энергия шарика А в момент отрыва равна $\frac{mv_{0}^{2}}{2}$ . Хотя приращения импульсов Земли и шарика А должны быть равны по модулю (согласно закону сохранения импульса), приращением кинетической энергии Земли следует пренебречь, так как ее масса несравнимо больше массы шарика, а потому ее можно считать неподвижной относительно выбранной инерциальной системы отсчета. Убыль же потенциальной энергии указанной системы тел при падении стержня в течение указанного промежутка времени можно считать обусловленной лишь изменением расположения шарика А относительно Земли. Поэтому запишем
$\frac{1}{2} mv_{0}^{2} = mgL(1 - \cos \alpha )$.
Из полученных уравнений следует, что в момент отрыва шарика В ось стержня должна образовывать с вертикалью такой угол $\alpha$, что его косинус равен $\frac{1}{2}$, а скорость движения шарика А равна $v_{0} = \sqrt{gL}$. Поскольку в интересующий момент шарик А движется по дуге окружности радиусом $L$, искомая угловая скорость вращения стержня будет равна
$\omega = \frac{v_{0} }{L} = \sqrt{ \frac{g}{L} }$.
