Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15139
2021-04-14 
На гладком горизонтальном столе стоит брусок (рис.). На бруске закреплен блок, через который перекинута гладкая идеальная нить. Один конец нити привязан к неподвижной относительно стола стойке так, что верхняя часть нити горизонтальна, а к другому ее концу прикреплен маленький тяжелый шарик. Удерживая брусок, шарик отклоняют так, чтобы нижний отрезок нити образовал с вертикалью угол $\alpha$ и расположился с ее верхним отрезком в одной вертикальной плоскости, проходящей через центр масс бруска с блоком. В течение некоторого промежутка времени после одновременного отпускания шарика и бруска угол наклона нижнего участка нити остается постоянным. Найдите величину ускорения шарика в этот промежуток времени.
Решение:
При решении задачи будем, как это обычно и делается (если в условии нет специальных указаний), пренебрегать влиянием воздуха и считать лабораторную систему отсчета, относительно которой стол покоится, инерциальной. Поскольку нить располагается в вертикальной плоскости, проходящей через центр масс бруска с блоком, и брусок может двигаться только по горизонтальной плоскости, после одновременного отпускания бруска и шарика брусок будет двигаться поступательно. При этом блок, через который перекинута нить, также будет двигаться поступательно, так как нить гладкая и поэтому между блоком и нитью не могут действовать силы трения, которые могли бы вызвать его вращение. Будем решать задачу, используя систему координат, неподвижную относительно стола, ось X которой параллельна верхней горизонтальной части нити, а ось Y направлена вертикально вниз и лежит в вертикальной плоскости, проходящей через центр масс бруска с блоком, как показано на рисунке. Поскольку по условию задачи нить является нерастяжимой и в течение некоторого промежутка времени после начала движения угол наклона нижнего участка нити остается постоянным, можно утверждать, что при смещении бруска на расстояние $\Delta x_{б} = AB = CE = CD$ шарик сместиться вдоль оси ОХ на расстояние $\Delta x_{ш} = KD = \Delta x_{б} (1 - \sin \alpha )$, а вдоль оси Y - на расстояние $\Delta y_{ш} = KE = \Delta x_{б} \cos \alpha$. Из двух последних формул следует, что проекции ускорения шарика $\vec{a}_{ш}$ на оси выбранной системы координат и проекция ускорения $\vec{a}_{б}$ бруска на ось X связаны между собой соотношениями
$a_{xш} = a_{xб} (1 - \sin \alpha ), a_{yш} = a_{xб} \cos \alpha$.
После отпускания на шарик будут действовать только сила натяжения нити $\vec{T}$ и сила тяжести $m \vec{g}$, где $m$ - масса шарика, а $\vec{g}$ - ускорение свободного падения. Следовательно, согласно второму закону Ньютона уравнение движения шарика в проекциях на оси координат для интересующего промежутка времени можно представить в виде
$ma_{xш} = T \sin \alpha , ma_{yш} = mg - T \cos \alpha$.
Обозначив массу бруска с блоком $M$ и учитывая, что эти тела движутся поступательно по горизонтальной плоскости, их уравнение движения в проекции на ось X можно записать так:
$Ma_{xб} = T - T \sin \alpha$.
Здесь было учтено, что величина $T$ силы натяжения нити во всех ее точках одинакова, так как нить невесома и на нее не действуют силы трения.
Из полученных уравнений следует, что угол $\alpha$ может оставаться неизменным только при условии, что массы шарика и бруска с блоком удовлетворяют соотношению
$\frac{M}{m} = \frac{(1 - \sin \alpha )^{2}}{ \sin \alpha}$,
при этом отношение ускорения бруска к ускорению свободного падения равно
$\frac{a_{xб} }{g} = \frac{(ma_{xб} + T) \sin \alpha}{(ma_{xб} + T ) \cos \alpha } = tg \alpha$.
Таким образом, искомая величина ускорения шарика должна быть равна
$a_{ш} = \sqrt{ a_{xш}^{2} + a_{уш}^{2}} = g \sqrt{2(1 - \sin \alpha )} tg \alpha$.
На гладком горизонтальном столе стоит брусок (рис.). На бруске закреплен блок, через который перекинута гладкая идеальная нить. Один конец нити привязан к неподвижной относительно стола стойке так, что верхняя часть нити горизонтальна, а к другому ее концу прикреплен маленький тяжелый шарик. Удерживая брусок, шарик отклоняют так, чтобы нижний отрезок нити образовал с вертикалью угол $\alpha$ и расположился с ее верхним отрезком в одной вертикальной плоскости, проходящей через центр масс бруска с блоком. В течение некоторого промежутка времени после одновременного отпускания шарика и бруска угол наклона нижнего участка нити остается постоянным. Найдите величину ускорения шарика в этот промежуток времени.
Решение:
При решении задачи будем, как это обычно и делается (если в условии нет специальных указаний), пренебрегать влиянием воздуха и считать лабораторную систему отсчета, относительно которой стол покоится, инерциальной. Поскольку нить располагается в вертикальной плоскости, проходящей через центр масс бруска с блоком, и брусок может двигаться только по горизонтальной плоскости, после одновременного отпускания бруска и шарика брусок будет двигаться поступательно. При этом блок, через который перекинута нить, также будет двигаться поступательно, так как нить гладкая и поэтому между блоком и нитью не могут действовать силы трения, которые могли бы вызвать его вращение. Будем решать задачу, используя систему координат, неподвижную относительно стола, ось X которой параллельна верхней горизонтальной части нити, а ось Y направлена вертикально вниз и лежит в вертикальной плоскости, проходящей через центр масс бруска с блоком, как показано на рисунке. Поскольку по условию задачи нить является нерастяжимой и в течение некоторого промежутка времени после начала движения угол наклона нижнего участка нити остается постоянным, можно утверждать, что при смещении бруска на расстояние $\Delta x_{б} = AB = CE = CD$ шарик сместиться вдоль оси ОХ на расстояние $\Delta x_{ш} = KD = \Delta x_{б} (1 - \sin \alpha )$, а вдоль оси Y - на расстояние $\Delta y_{ш} = KE = \Delta x_{б} \cos \alpha$. Из двух последних формул следует, что проекции ускорения шарика $\vec{a}_{ш}$ на оси выбранной системы координат и проекция ускорения $\vec{a}_{б}$ бруска на ось X связаны между собой соотношениями
$a_{xш} = a_{xб} (1 - \sin \alpha ), a_{yш} = a_{xб} \cos \alpha$.
После отпускания на шарик будут действовать только сила натяжения нити $\vec{T}$ и сила тяжести $m \vec{g}$, где $m$ - масса шарика, а $\vec{g}$ - ускорение свободного падения. Следовательно, согласно второму закону Ньютона уравнение движения шарика в проекциях на оси координат для интересующего промежутка времени можно представить в виде
$ma_{xш} = T \sin \alpha , ma_{yш} = mg - T \cos \alpha$.
Обозначив массу бруска с блоком $M$ и учитывая, что эти тела движутся поступательно по горизонтальной плоскости, их уравнение движения в проекции на ось X можно записать так:
$Ma_{xб} = T - T \sin \alpha$.
Здесь было учтено, что величина $T$ силы натяжения нити во всех ее точках одинакова, так как нить невесома и на нее не действуют силы трения.
Из полученных уравнений следует, что угол $\alpha$ может оставаться неизменным только при условии, что массы шарика и бруска с блоком удовлетворяют соотношению
$\frac{M}{m} = \frac{(1 - \sin \alpha )^{2}}{ \sin \alpha}$,
при этом отношение ускорения бруска к ускорению свободного падения равно
$\frac{a_{xб} }{g} = \frac{(ma_{xб} + T) \sin \alpha}{(ma_{xб} + T ) \cos \alpha } = tg \alpha$.
Таким образом, искомая величина ускорения шарика должна быть равна
$a_{ш} = \sqrt{ a_{xш}^{2} + a_{уш}^{2}} = g \sqrt{2(1 - \sin \alpha )} tg \alpha$.
