2021-04-14
Груз массой $m$ подвешен на трех тросах (рис.). Считая деформации малыми, найдите величину силы натяжения каждого троса, если они сделаны из одного материала и площади их поперечных сечений одинаковы. Ускорение свободного падения $g$.
Решение:
Эта задача статически неопределима, так как для нахождения трех неизвестных усилий $T_{1}, T_{2}, T_{3}$ в тросах нам известны из статики лишь два уравнения. Это равенство нулю суммы проекций сил на вертикальное направление:
$T_{1} \cos \alpha + T_{2} + T_{3} \cos \alpha - mg = 0$
и на горизонтальное направление:
$T_{1} \sin \alpha - T_{3} \sin \alpha = 0$.
Чтобы найти недостающее третье уравнение, учтем упругие свойства материала, из которого сделаны тросы, и кинематическую связь. Так, малые деформации боковых тросов и центрального связаны соотношением (рис.)
$\Delta l_{1} = \Delta l_{3} = \Delta l_{2} \cos \alpha$.
В свою очередь, для длин тросов справедливо равенство
$l_{2} = l_{1} \cos \alpha$.
Кроме того, считая деформации тросов упругими, по закону Гука находим
$T_{1} = \frac{ES}{l_{1} } \Delta l_{1}, T_{2} = \frac{ES}{l_{2} } \Delta l_{2}$.
Подстановка полученных соотношений в первые два равенства приводит к следующим результатам:
$T_{1} = T_{3} = mg \frac{ \cos^{2} \alpha }{2 \cos^{3} \alpha + 1 }, T_{2} = mg \frac{1}{2 \cos^{3} \alpha + 1 }$.