2021-04-14
На астероиде Веста (радиус $R = 280 км$, ускорение свободного падения на поверхности $g_{0} = 0,24 м/с^{2}$) решено установить межпланетную ретрансляционную станцию. Основой конструкции станции должна служить цилиндрическая труба, высота которой равняется радиусу планеты. На Весту завезли ровно 280 км титановых труб. На сколько ниже проектной окажется высота конструкции, когда она будет собрана в вертикальном положении? Считайте астероид однородным не-вращающимся шаром. Плотность титана $\rho = 4500 кг/м^{3}$, модуль Юнга $E = 1,12 \cdot 10^{11} Па$.
Решение:
Ускорение свободного падения над поверхностью планеты изменяется по закону $g(r) = \frac{g_{0}R^{2}}{r^{2}}$ (координата $r$ отсчитывается от центра планеты) и на высоте станции уменьшается в четыре раза. Следовательно, напряжения в конструкции и соответствующие им деформации не будут однородными.
Найдем зависимость упругой силы $T$ от координаты $r$. Для этого рассмотрим находящийся в равновесии произвольный элементарный горизонтальный слой трубы толщиной $\Delta r$ (рис.). Пусть площадь поперечного сечения стенки трубы равна $S$. На этот слой действует сила тяжести $\Delta mg = \rho S \Delta rg (r)$ и упругие силы $T(r)$ в нижнем сечении и $T(r + \Delta r)$ в верхнем сечении. По второму закону Ньютона,
$T(r ) - T(r + \Delta r) = \rho S \Delta r g(r)$,
или
$\Delta T = - \frac{ \rho S g_{0} R^{2} }{r^{2} } \Delta r$.
Суммируя такие равенства от $r = 2R$, где $T(2R) = 0$, до любого $r \leq R$ в пределах стержня и учитывая равенство $\Delta \frac{1}{r} = - \frac{ \Delta r}{r^{2} }$, получаем зависимость упругой силы от координаты:
$T(r) = \rho S g_{0}R \left ( \frac{R}{r} - \frac{1}{2} \right )$.
Элементарные уменьшения длины $\delta( \Delta r)$ найдем по закону Гука
$\frac{ \delta ( \Delta r)}{ \Delta r} = \frac{1}{E} \frac{T(r)}{S}$.
Полное уменьшение длины конструкции получим суммированием элементарных уменьшений:
$\Delta l = \sum \delta ( \Delta r) = \frac{ \rho g_{0}R }{E} \int_{R}^{2R} \left ( \frac{R}{r} - \frac{1}{2} \right ) dr = \frac{ \rho g_{0}R^{2} }{E} \left ( ln 2 - \frac{1}{2} \right ) = 144 м$.