2021-04-14
Осесимметричный стержень подвешен вертикально за один из концов. В нижнем сечении радиусом $r_{0}$ стержень нагружен растягивающей силой $F$, равномерно распределенной по сечению. При какой зависимости радиуса $r$ стержня от расстояния $x$ до нижнего сечения напряжения во всех горизонтальных сечениях будут одинаковы? Плотность материала стержня $\rho$. Ускорение свободного падения $g$.
Решение:
По условию, напряжения в горизонтальных сечениях одинаковы и равны напряжению в нижнем сечении:
$\sigma (x) = \frac{T(x)}{ \pi r^{2}(x) } = \sigma_{0} = \frac{F}{ \pi r_{0}^{2} }$.
На любой элементарный горизонтальный слой толщиной $\Delta x$ действует сила тяжести $\Delta m g = \rho \pi r^{2} \Delta xg$ и упругие силы $T(x) = \sigma_{0} \pi r^{2} (x)$ и $T(x + \Delta x) = \sigma_{0} \pi r^{2} (x + \Delta x)$ в нижнем сечении и в верхнем сечении соответственно (рис.). Под действием приложенных сил выделенный слой покоится, следовательно, по второму закону Ньютона,
$T(x + \Delta x) - T(x) = \rho \pi r^{2} \Delta xg$.
Введем $\Delta r = r(x + \Delta x) - r(x)$, тогда полученное уравнение примет вид
$\sigma_{0} \pi \cdot 2r \Delta r = \rho \pi r^{2} \Delta xg$,
или
$\frac{ \Delta r}{r} = \frac{ \rho g}{2 \sigma_{0} } \Delta x$.
Суммируя такие равенства от $x = 0$ до любого $x$ в пределах стержня и переходя от логарифмов к основаниям, получаем искомую зависимость радиуса сечения стержня от координаты:
$r(x) = r_{0} e^{ \frac{ \rho g \pi r_{0}^{2} }{2F} x}$.