2021-04-14
Динамометр, находящийся на гладкой горизонтальной поверхности, тянут с силой $F = 5 Н$. Что покажет динамометр, если масса его корпуса $M = 0,2 кг$, масса пружины $m = 0,05 кг$? Градуировка динамометра проводилась при закрепленном корпусе.
Решение:
Показание $T$ динамометра, движущегося ускоренно, будет пропорционально удлинению $\Delta l$ пружины:
$T = k \Delta l$,
где $k$ - жесткость пружины. Для определения удлинения заметим, что масса пружины не является пренебрежимо малой (по сравнению с массой корпуса), следовательно, упругая сила в любом ее сечении зависит от координаты этого сечения, отсчитанной, например, от точки закрепления пружины. Тогда из второго закона Ньютона для корпуса динамометра и части пружины длиной $x$ (рис.):
$\left ( M + \frac{x}{L} m \right ) a = N(x)$
и для оставшейся части пружины:
$\left ( m - \frac{x}{L} m \right ) a = F - N (x)$
находим упругую силу $N(x)$, ас ней и зависимость механического напряжения $\sigma$ от координаты $x$:
$\sigma (x) = \frac{N(x)}{S} = \frac{F}{S(M + m)} \left ( M + \frac{x}{L}m \right )$,
где $L$ - длина пружины. Удлинение $\delta ( \Delta x)$ произвольного первоначально недеформированного элемента длиной $\Delta x$ найдем по закону Гука
$\frac{ \delta ( \Delta x)}{ \Delta x} = \frac{1}{E} \sigma (x)$.
Полное удлинение пружины получим суммированием элементарных удлинений:
$\Delta l = \sum \delta ( \Delta x) = \frac{F}{SE(M + m)} \int_{0}^{L} \left ( M + \frac{x}{L} m \right ) dx = \frac{FL}{2SE} \frac{2M + m}{M + m}$.
По условию, градуировка проводилась при закрепленном корпусе, следовательно, $k = \frac{ES}{L}$. Тогда показание динамометра будет таким:
$T = k \Delta l = \frac{2M + m}{2(M + m)}F = 4,5 Н$.