2021-04-05
Луч лазера, направленный под малым углом $\alpha = 0,1 рад$ к главной оптической оси рассеивающей линзы с фокусным расстоянием $F = 3 см$, наблюдается в виде светящейся точки на экране Э, расположенном на расстоянии $L = 630 см$ от линзы (рис.). Если слева от линзы поставить плоскопараллельную стеклянную пластинку толщиной $d = 1 см$, то светящаяся точка смещается по экрану на расстояние $a = 8 см$. Определите показатель преломления пластинки. Указание: при малых $x$ считать, что $tg x = x, \cos x \approx 1$.
Решение:
Ход лазерного луча в отсутствие стеклянной пластинки и при ее наличии изображен на рисунке. При построении используется свойство параллельных лучей: при падении на рассеивающую линзу на выходе из нее эти лучи расходятся, а их продолжения (в обратную сторону) собираются в точке, принадлежащей фокальной плоскости линзы. В нашем случае это точка В. Она находится с помощью построения прямой ВО, параллельной падающему лучу лазера и проходящей через оптический центр линзы.
При падении луча на плоскопараллельную пластинку под малым углом $\alpha$ выходящий из пластинки луч распространяется параллельно падающему лучу со смещением
$l = \alpha d \left ( 1 - \frac{1}{n} \right )$,
где $n$ - искомый показатель преломления пластинки. На рисунке светящаяся точка А на экране соответствует лазерному лучу без пластинки, а точка $A^{ \prime }$ принадлежит этому лучу при наличии пластинки. Расстояние между точками $A$ и $A^{ \prime }$ по условию равно $a$, а расстояние между точками $C$ и $C^{ \prime }$ составляет
$CC^{ \prime } = \frac{l}{ \cos \alpha } \approx l$.
Из подобия треугольников $ABA^{ \prime }$ и $CBC^{ \prime }$ следует (с учетом малости угла $\alpha$)
$\frac{a}{CC^{ \prime }} = \frac{L + F}{F}$, или $\frac{a}{ \alpha d \left ( 1 - \frac{1}{n} \right ) } = \frac{L + F}{F}$.
Отсюда получаем
$n = \frac{1}{1 - \frac{aF}{ \alpha d (L + F) } } \approx 1,6$.