2021-04-05
Наблюдатель рассматривает удаленный предмет с помощью зрительной трубы Кеплера. В качестве объектива и окуляра трубы используются две собирающие линзы с фокусными расстояниями $F_{1} = 30 см$ и $F_{2} = 5 см$. Наблюдатель видит четкое изображение предмета, если расстояние между объективом и окуляром трубы находится в пределах от $L_{1} = 33 см$ до $L_{2} = 34,5 см$. На каких расстояниях наблюдатель отчетливо видит предметы невооруженным глазом?
Решение:
Ограничение расстояний, на которых наблюдатель отчетливо видит предметы невооруженным глазом, связано со способностью глаза изменять радиус кривизны хрусталика, тем самым изменяя его фокусное расстояние. Фокусное расстояние хрусталика может изменяться от некоторого максимального значения (при наблюдении удаленных предметов) до минимального (при наблюдении предметов вблизи глаза). Нормальный глаз, настраиваясь на удаленные предметы, увеличивает фокусное расстояние хрусталика, и оно становится равным расстоянию от хрусталика до сетчатки глаза. Если мы таким глазом рассматриваем удаленные предметы через трубу, то расстояние между объективом и окуляром трубы будет равно сумме фокусных расстояний:
$L_{0} = F_{1} + F_{2} = 35 см$.
Глаз же нашего наблюдателя при данном $L_{0}$ не может сфокусировать изображение на сетчатке - фокус хрусталика маловат. Тогда наблюдатель начинает сдвигать окуляр и объектив, тем самым приближая первичное изображение предмета в трубе к глазу, и при $L_{2} = 34,5 см$ хрусталику удается сфокусировать изображение. Этот случай изображен на рисунке. В качестве предмета рассматривается точечный источник, расположенный на оптической оси системы на большом удалении. На объектив (линза $Л_{1}$ ) падает параллельный пучок света, в фокальной плоскости объектива получается первичное изображение - точка $A^{ \prime}$. Расстояние от $A^{ \prime}$ до окуляра равно $d_{2} = L_{2} - F_{1} = 4,5 см$. Изображение точки $A^{ \prime }$ в окуляре найдем по формуле линзы, полагая, что $d_{2} < F_{2}$:
$\frac{1}{d_{2} } - \frac{1}{f_{2} } = \frac{1}{F_{2} }$, откуда $f_{2} = \frac{d_{2}F_{2} }{ F_{2} - d_{2} } = 45 см$.
Полученное изображение $A^{ \prime \prime }$ рассматривается глазом при максимальном фокусном расстоянии хрусталика. С этого момента глаз начинает отчетливо видеть предмет. Предмет находится на бесконечном расстоянии, а глаз его видит на расстоянии
$f_{2} = 45 см$.
При дальнейшем сближении объектива с окуляром глазу необходимо аккомодироваться на все более близкие точки, поскольку изображение $A^{ \prime \prime }$ будет приближаться к глазу. Фокусное расстояние глаза будет уменьшаться и, наконец, при $L_{1} = 33 см$ достигнет минимума. В этот момент расстояние от изображения $A^{ \prime }$ до окуляра будет равно $d_{1} = L - F_{1} = 3 см$. А расстояние $f_{1}$ от изображения $A^{ \prime \prime }$ до окуляра опять найдем по формуле линзы:
$\frac{1}{d_{1} } - \frac{1}{f_{1} } = \frac{1}{F_{2} }$, откуда $f_{1} = \frac{d_{1}F_{2} }{ F_{2} - d_{1} } = 7,5 см$.
Таким образом, на расстояниях больше 7,5 см и меньше 45 см наблюдатель отчетливо видит предметы невооруженным глазом.