2021-04-05
Оптическая система состоит из тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием $F$ и уголкового отражателя (два плоских зеркала, образующих прямой двугранный угол) (рис.). Отражатель расположен симметрично относительно главной оптической оси линзы на расстоянии $L = 2F$ от нее. На вход данной системы падает узкий пучок света под малым углом $\alpha$, который пересекает ось системы в точке А на расстоянии $d = 3F$ от линзы. Постройте выходящий из системы пучок света и определите угол отклонения этого пучка от оси системы.
Решение:
Прежде чем решать эту задачу, необходимо разобраться в некоторых оптических свойствах уголкового отражателя.
Пусть точечный источник света $S$ расположен перед уголком на его оси симметрии (рис.). Найдем изображение источника в уголке, построив ход нескольких лучей света. На рисунке хорошо видно, что изображение источника $S$ в верхнем плоском зеркале - точка $S^{ \prime}$ - мнимое и расположено симметрично за зеркалом. Изображение источника $S^{ \prime}$ в нижнем зеркале - точка $S^{ \prime \prime }$ - находится на оси симметрии уголка, а отрезки $OS, OS^{ \prime}$ и $OS^{ \prime \prime }$ равны. Следовательно, для точечного источника, расположенного на оси симметрии уголка, уголок ведет себя как плоское зеркало, расположенное в вершине О уголка и перпендикулярное оси симметрии уголка. Для произвольного расположения источника уголок будет осуществлять два зеркальных преобразования: относительно плоскости, перпендикулярной оси симметрии и проходящей через вершину уголка, и относительно плоскости, проходящей через ось симметрии и ребро уголка. Второе свойство уголка продемонстрировано на рисунке. Если на уголок падает узкий пучок света, распространяющийся параллельно оси симметрии уголка, то очевидно, что выходящий пучок (после отражений от обоих зеркал) будет параллелен входящему. Этим свойством обладает и любой другой произвольно падающий пучок (см. рис.), т.е. всегда выходящий из уголка пучок параллелен входящему.
Теперь можно перейти к решению задачи. Точку А, в которой входящий пучок пересекает главную оптическую ось линзы, мы можем считать источником, а точку $A^{ \prime }$ пересечения преломленного пучка в линзе с этой же осью будем считать его изображением в линзе (рис.). Найдем расстояние $f$ этого изображения от линзы по формуле линзы:
$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$, откуда $f = \frac{dF}{d - F} = \frac{3}{4}F$.
Изображение точки $A^{ \prime }$ в уголковом отражателе - точка $A^{ \prime \prime }$ - будет находиться от линзы на расстоянии
$d^{ \prime } = 2L - f = \frac{5}{2} F$.
Поскольку отраженный от уголка пучок своим продолжением исходит из мнимого источника $A^{ \prime \prime }$, то, проведя прямую, параллельную $CA^{ \prime }$ и проходящую через точку $A^{ \prime \prime}$, мы получим отраженный от уголка луч BD. Рассматривая точку $A^{ \prime \prime }$ в качестве источника, найдем по формуле линзы точку $A^{ \prime \prime \prime}$, сопряженную $A^{ \prime \prime }$:
$\frac{1}{d^{ \prime } } + \frac{1}{f^{ \prime } } = \frac{1}{F}$, откуда $f^{ \prime } = \frac{d^{ \prime }F }{d^{ \prime } - F } = \frac{5}{3} F$.
Соединив точки $D$ и $A^{ \prime \prime \prime}$, мы получим выходящий из системы пучок.
Теперь мы можем найти угол $\beta$ между выходящим пучком света и главной оптической осью нашей системы. Из треугольника АОС найдем сторону ОС:
$OC = d tg \alpha = d \alpha$.
Из подобия треугольников $ODA^{ \prime \prime}$ и $OCA^{ \prime }$ выразим отношение сторон:
$\frac{OD}{OC} = \frac{d^{ \prime }}{f}$.
Отсюда
$OD = OC \frac{d^{ \prime} }{f} = 5F \alpha$.
Из треугольника $A^{ \prime \prime \prime}DO$ следует, что
$\beta \approx tg \beta = \frac{OD}{f^{ \prime } } \approx 3 \alpha$.