2021-04-05
Простейшая оптическая система состоит из тонкой собирающей линзы с фокусным расстоянием $F$ и плоского зеркала, расположенного за линзой перпендикулярно ее главной оптической оси (рис.). Найдите такое расстояние от линзы до зеркала, при котором увеличение системы не зависит от положения предмета перед линзой. Чему равно это увеличение? Изображение предмета получается после прохода лучей линзы, зеркала и снова линзы.
Решение:
Обозначим произвольное расстояние от предмета АВ до линзы через $d$, а расстояние от линзы до зеркала - через $L$ (рис.). Первое промежуточное изображение $A^{ \prime }B^{ \prime}$ будет находиться на расстоянии $f$ от линзы. Величину $f$ можно найти по формуле линзы:
$\frac{1}{d} + \frac{1}{f} = \frac{1}{F}$, откуда $f = \frac{dF}{d - F}$.
Увеличение линзы равно
$\Gamma_{1} = \frac{f}{d} = \frac{F}{d - F}$.
После отражения от плоского зеркала изображение $A^{ \prime \prime}B^{ \prime \prime }$ будет находиться на расстоянии $2L - f$ от линзы. Обозначим это расстояние через $d^{ \prime}$:
$d^{ \prime} = 2L - f = \frac{d (2L - F) - 2LF}{d - F}$.
Увеличение в данном случае равно
$\Gamma_{2} = 1$.
Рассмотрим теперь второй проход лучей через линзу. Расстояние от предмета $A^{ \prime \prime }B^{ \prime \prime }$ до линзы равно $d^{ \prime}$, а расстояние от изображения $A^{ \prime \prime \prime }B^{ \prime \prime \prime }$ обозначим через $f^{ \prime}$. По формуле линзы найдем $f^{ \prime }$:
$\frac{1}{d^{ \prime}} + \frac{1}{f^{ \prime }} = \frac{1}{F}$, откуда $f^{ \prime } = \frac{d^{ \prime }F}{d^{ \prime } - F } = \frac{(d(2L - F) - 2LF)F}{2d (L - F) + F(F - 2L) }$.
Увеличение линзы для этого случая равно
$\Gamma_{3} = \frac{f^{ \prime } }{d^{ \prime } } = \frac{(d - F)F}{2d(L - F) + F(F - 2L) }$.
Общее увеличение нашей системы составляет
$\Gamma = \Gamma_{1} \Gamma_{2} \Gamma_{3} = \frac{F^{2} }{2d(L - F) + F(F - 2L) }$.
Если мы хотим, чтобы увеличение не зависело от расстояния $d$, должно выполняться условие
$L - F = 0$.
Отсюда следует, что увеличение будет постоянным при
$L = F$.
А само увеличение в таком случае будет равно
$\Gamma = -1$.
Знак «минус» означает, что изображение будет перевернутым.