2021-04-05
Расстояние от заднего фокуса собирающей линзы до изображения в 9 раз больше расстояния от переднего фокуса до предмета. Найдите увеличение линзы.
Решение:
Если $d < F$, то имеем систему уравнений
$\begin{cases} f + F = 9(F - d), \\ f = \frac{Fd}{F - d}, \\ \Gamma = \frac{F}{F - d}, \end{cases}$
где $\Gamma$ - искомое увеличение. Исключая $f$ из первых двух уравнений, получим уравнение
$9d^{2} - 18Fd + 8F^{2} = 0$
с удовлетворяющим нас корнем $d = \frac{2}{3} F$. Тогда $\Gamma = 3$.
Если $d > F$, то приходим к системе
$\begin{cases} f - F = 9 (d - F), \\ f = \frac{fF}{d - F}, \\ \Gamma = \frac{F}{d - F}, \end{cases}$
из которой получим такое же уравнение
$9d^{2} - 18Fd + 8F^{2} = 0$
с подходящим большим корнем $d = \frac{4}{3} F$. И опять $\Gamma = 3$.
Таким образом, задача имеет одно решение, реализуемое в двух случаях: $d_{1} = \frac{2}{3}F$ и $d_{2} = \frac{4}{3} F$. В этом легко убедиться, построив два раза ход лучей.