Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15117
2021-04-05 
В схеме на рисунке катушки с индуктивностями $L_{1}$ и $L_{2}$ закорочены через идеальный диод D. В начальный момент ключ K разомкнут, а конденсатор емкостью $C$ заряжен до напряжения $U_{0}$. Найдите зависимости токов через катушки от времени после замыкания ключа K и изобразите эти зависимости на графике $I(t)$.
Решение:
Сразу после замыкания ключа диод будет находиться в запертом состоянии. Поэтому можно считать, что вторая катушка отключена от цепи, а рабочая схема имеет вид, изображенный на рисунке. Пусть в произвольный момент времени через катушку индуктивностью $L_{1}$ течет ток $I_{1}$, а напряжение на конденсаторе равно $U$.
Закон Ома для этой цепи имеет вид
$L_{1} \frac{dI_{1} }{dt} = U$.
Условие сохранения заряда позволяет записать
$I_{1} = - \frac{dQ_{C} }{dt} = - C \frac{dU}{dt}$.
Продифференцируем обе части первого уравнения по времени:
$L_{1} \frac{d^{2}I_{1}}{dt^{2}} = \frac{dU}{dt}$.
Подставив сюда производную $\frac{dU}{dt}$ из второго уравнения, получим уравнение для тока $I_{1}$:
$I_{1}^{ \prime \prime } + \frac{1}{L_{1}C }I_{1} = 0$.
Это уравнение описывает гармонические колебания тока $I_{1}$ с частотой $\omega_{1} = \frac{1}{ \sqrt{L_{1}C } }$. Решение этого уравнения будем искать в виде
$I_{1} = A \cos \omega_{1}t + B \sin \omega_{1}t$,
где $A$ и $B$ - константы, которые найдем из начальных условий. Сразу после замыкания ключа ($t = 0$) $I_{1} = 0$, откуда получаем $A = 0$. Константу $B$ проще всего найти, используя закон сохранения энергии. При максимальном токе $I_{1}$ ( $I_{1max} = B$ ) напряжение на конденсаторе равно нулю, поэтому
$\frac{L_{1}B^{2}}{2} = \frac{CU_{0}^{2}}{2}$,
откуда
$B = U_{0} \sqrt{ \frac{C}{L_{1} } }$.
Тогда зависимость $I_{1} (t)$ будет иметь вид
$I_{1} = U_{0} \sqrt{ \frac{C}{L_{1} } } \sin \omega_{1}t$.
Ток через катушку индуктивностью $L_{2}$, очевидно, будет равен нулю до тех пор, пока ток $I_{1}$ не достигнет максимума, а напряжение на конденсаторе не станет равным нулю. Это будет происходить в течение четверти периода, т.е. промежутка времени $0 \leq t \leq \frac{ \pi}{2} \sqrt{L_{1}C}$ (здесь $T_{1} = \frac{2 \pi }{ \omega_{1} } = 2 \pi \sqrt{L_{1}C}$ - период колебаний). Как только напряжение на конденсаторе начнет расти, но уже с другим знаком, откроется диод, и через катушку индуктивностью $L_{2}$ потечет ток. Рабочая схема будет иметь вид, изображенный на рисунке. Начало отсчета времени свяжем с моментом достижения максимального тока через первую катушку.
Пусть в произвольный момент времени токи через катушки равны $I_{1}$ и $I_{2}$, через конденсатор течет ток $I_{3}$, а напряжение на конденсаторе равно $U$. Запишем закон Ома для контура, охватывающего две катушки:
$L_{1} \frac{dI_{1} }{dt} + L_{2} \frac{dI_{2} }{dt} = 0$.
Решение этого уравнения имеет вид
$L_{1}I_{1} + L_{2}I_{2} = const$.
Поскольку в выбранный начальный момент $I_{1}(0) = U_{0} \sqrt{ \frac{C}{L_{1} } }$ а $I_{2} (0) = 0$, то
$L_{1}I_{1} + L_{2}I_{2} = U_{0} \sqrt{L_{1}C}$.
Теперь запишем закон Ома для контура, охватывающего конденсатор и катушку индуктивностью $L_{1}$:
$ - L_{1} \frac{dI_{1} }{dt} = U$.
По закону сохранения заряда можно записать
$I_{1} = I_{2} + I_{3}, I_{3} = C \frac{dU}{dt}$.
Из системы последних четырех уравнений взаимоисключением получим одно уравнение относительно тока $I_{1}$:
$I_{1}^{ \prime \prime } + \frac{L_{1} + L_{2}}{CL_{1}L_{2} } I_{1} = \frac{U_{0}}{L_{2} \sqrt{L_{1}C } }$.
Это неоднородное уравнение также описывает гармонические колебания тока $I_{1}$, но уже с новой частотой $\omega_{2} = \sqrt{ \frac{L_{1} + L_{2} }{CL_{1}L_{2} } }$. Наличие справа в уравнении не нулевого члена, а некоторой константы (не зависящей от времени) означает, что гармонические колебания тока будут происходить относительно не нулевого уровня, а некоторого значения тока $I_{1} = const = \frac{U_{0} \sqrt{L_{1}C } }{L_{1} + L_{2} }$. Решение неоднородного уравнения ищем в виде
$I_{1} = A \cos \omega_{2}t + B \sin \omega_{2}t + \frac{U_{0} \sqrt{L_{1}C } }{L_{1} + L_{2} }$.
Поскольку при $t = 0 \: I_{1}(0) = U_{0} \sqrt{ \frac{C}{L_{1} } }$, то
$A = U_{0} \sqrt{ \frac{C}{L_{1} } } - U_{0} \frac{ \sqrt{L_{1}C } }{L_{1} + L_{2} }$.
Из начального условия $\frac{dI_{1} }{dt} = 0$ (начало отсчета выбрано при максимальном токе) следует, что $B = 0$.
Окончательная зависимость $I_{1} (t)$ будет имеет вид
$I_{1} = U_{0} \sqrt{ \frac{C}{L_{1} }} \frac{L_{2} }{L_{1} + L_{2} } \cos \omega_{2}t + U_{0} \sqrt{ \frac{C}{L_{1} } } \frac{L_{1} }{L_{1} + L_{2} }$,
а зависимость $I_{2} (t)$ -
$I_{2} = U_{0} \sqrt{ \frac{C}{L_{1} } } \frac{L_{1} }{L_{1} + L_{1} } ( 1 - \cos \omega_{2} t)$.
Напомним, что в полученных зависимостях $I_{1} (t)$ и $I_{2} (t)$ время отсчитывается от момента $t = \frac{T_{1}}{4}$ после замыкания ключа. Полная (с момента замыкания ключа) временная зависимость токов $I_{1}$ и $I_{2}$ изображена на рисунке.
В схеме на рисунке катушки с индуктивностями $L_{1}$ и $L_{2}$ закорочены через идеальный диод D. В начальный момент ключ K разомкнут, а конденсатор емкостью $C$ заряжен до напряжения $U_{0}$. Найдите зависимости токов через катушки от времени после замыкания ключа K и изобразите эти зависимости на графике $I(t)$.
Решение:
Сразу после замыкания ключа диод будет находиться в запертом состоянии. Поэтому можно считать, что вторая катушка отключена от цепи, а рабочая схема имеет вид, изображенный на рисунке. Пусть в произвольный момент времени через катушку индуктивностью $L_{1}$ течет ток $I_{1}$, а напряжение на конденсаторе равно $U$.
Закон Ома для этой цепи имеет вид
$L_{1} \frac{dI_{1} }{dt} = U$.
Условие сохранения заряда позволяет записать
$I_{1} = - \frac{dQ_{C} }{dt} = - C \frac{dU}{dt}$.
Продифференцируем обе части первого уравнения по времени:
$L_{1} \frac{d^{2}I_{1}}{dt^{2}} = \frac{dU}{dt}$.
Подставив сюда производную $\frac{dU}{dt}$ из второго уравнения, получим уравнение для тока $I_{1}$:
$I_{1}^{ \prime \prime } + \frac{1}{L_{1}C }I_{1} = 0$.
Это уравнение описывает гармонические колебания тока $I_{1}$ с частотой $\omega_{1} = \frac{1}{ \sqrt{L_{1}C } }$. Решение этого уравнения будем искать в виде
$I_{1} = A \cos \omega_{1}t + B \sin \omega_{1}t$,
где $A$ и $B$ - константы, которые найдем из начальных условий. Сразу после замыкания ключа ($t = 0$) $I_{1} = 0$, откуда получаем $A = 0$. Константу $B$ проще всего найти, используя закон сохранения энергии. При максимальном токе $I_{1}$ ( $I_{1max} = B$ ) напряжение на конденсаторе равно нулю, поэтому
$\frac{L_{1}B^{2}}{2} = \frac{CU_{0}^{2}}{2}$,
откуда
$B = U_{0} \sqrt{ \frac{C}{L_{1} } }$.
Тогда зависимость $I_{1} (t)$ будет иметь вид
$I_{1} = U_{0} \sqrt{ \frac{C}{L_{1} } } \sin \omega_{1}t$.
Ток через катушку индуктивностью $L_{2}$, очевидно, будет равен нулю до тех пор, пока ток $I_{1}$ не достигнет максимума, а напряжение на конденсаторе не станет равным нулю. Это будет происходить в течение четверти периода, т.е. промежутка времени $0 \leq t \leq \frac{ \pi}{2} \sqrt{L_{1}C}$ (здесь $T_{1} = \frac{2 \pi }{ \omega_{1} } = 2 \pi \sqrt{L_{1}C}$ - период колебаний). Как только напряжение на конденсаторе начнет расти, но уже с другим знаком, откроется диод, и через катушку индуктивностью $L_{2}$ потечет ток. Рабочая схема будет иметь вид, изображенный на рисунке. Начало отсчета времени свяжем с моментом достижения максимального тока через первую катушку.
Пусть в произвольный момент времени токи через катушки равны $I_{1}$ и $I_{2}$, через конденсатор течет ток $I_{3}$, а напряжение на конденсаторе равно $U$. Запишем закон Ома для контура, охватывающего две катушки:
$L_{1} \frac{dI_{1} }{dt} + L_{2} \frac{dI_{2} }{dt} = 0$.
Решение этого уравнения имеет вид
$L_{1}I_{1} + L_{2}I_{2} = const$.
Поскольку в выбранный начальный момент $I_{1}(0) = U_{0} \sqrt{ \frac{C}{L_{1} } }$ а $I_{2} (0) = 0$, то
$L_{1}I_{1} + L_{2}I_{2} = U_{0} \sqrt{L_{1}C}$.
Теперь запишем закон Ома для контура, охватывающего конденсатор и катушку индуктивностью $L_{1}$:
$ - L_{1} \frac{dI_{1} }{dt} = U$.
По закону сохранения заряда можно записать
$I_{1} = I_{2} + I_{3}, I_{3} = C \frac{dU}{dt}$.
Из системы последних четырех уравнений взаимоисключением получим одно уравнение относительно тока $I_{1}$:
$I_{1}^{ \prime \prime } + \frac{L_{1} + L_{2}}{CL_{1}L_{2} } I_{1} = \frac{U_{0}}{L_{2} \sqrt{L_{1}C } }$.
Это неоднородное уравнение также описывает гармонические колебания тока $I_{1}$, но уже с новой частотой $\omega_{2} = \sqrt{ \frac{L_{1} + L_{2} }{CL_{1}L_{2} } }$. Наличие справа в уравнении не нулевого члена, а некоторой константы (не зависящей от времени) означает, что гармонические колебания тока будут происходить относительно не нулевого уровня, а некоторого значения тока $I_{1} = const = \frac{U_{0} \sqrt{L_{1}C } }{L_{1} + L_{2} }$. Решение неоднородного уравнения ищем в виде
$I_{1} = A \cos \omega_{2}t + B \sin \omega_{2}t + \frac{U_{0} \sqrt{L_{1}C } }{L_{1} + L_{2} }$.
Поскольку при $t = 0 \: I_{1}(0) = U_{0} \sqrt{ \frac{C}{L_{1} } }$, то
$A = U_{0} \sqrt{ \frac{C}{L_{1} } } - U_{0} \frac{ \sqrt{L_{1}C } }{L_{1} + L_{2} }$.
Из начального условия $\frac{dI_{1} }{dt} = 0$ (начало отсчета выбрано при максимальном токе) следует, что $B = 0$.
Окончательная зависимость $I_{1} (t)$ будет имеет вид
$I_{1} = U_{0} \sqrt{ \frac{C}{L_{1} }} \frac{L_{2} }{L_{1} + L_{2} } \cos \omega_{2}t + U_{0} \sqrt{ \frac{C}{L_{1} } } \frac{L_{1} }{L_{1} + L_{2} }$,
а зависимость $I_{2} (t)$ -
$I_{2} = U_{0} \sqrt{ \frac{C}{L_{1} } } \frac{L_{1} }{L_{1} + L_{1} } ( 1 - \cos \omega_{2} t)$.
Напомним, что в полученных зависимостях $I_{1} (t)$ и $I_{2} (t)$ время отсчитывается от момента $t = \frac{T_{1}}{4}$ после замыкания ключа. Полная (с момента замыкания ключа) временная зависимость токов $I_{1}$ и $I_{2}$ изображена на рисунке.
