Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15116
2021-04-05 
В схеме, изображенной на рисунке, две катушки с индуктивностями $L_{1}$ и $L_{2}$ соединены последовательно с конденсатором емкостью $C$. В начальный момент ключи $K_{1}$ и $K_{2}$ разомкнуты, а конденсатор заряжен до напряжения $U_{0}$. Сначала замыкают ключ $K_{1}$, а потом, после того как напряжение на конденсаторе станет равным нулю, замыкают ключ $K_{2}$. Через некоторое время после замыкания ключа $K_{2}$ конденсатор перезарядится до некоторого максимального напряжения. Определите величину этого напряжения.
Решение:
После замыкания ключа $K_{1}$ конденсатор начнет разряжаться, и в контуре по синусоидальному закону будет нарастать ток. Через четверть периода, т.е. через промежуток времени, равный $\frac{ \pi }{2} \sqrt{(L_{1} + L_{2}) C}$, напряжение на конденсаторе станет равным нулю, а ток в контуре достигнет максимального значения $I_{max}$. Величину этого тока найдем по закону сохранения энергии:
$\frac{CU_{0}^{2} }{2} = \frac{(L_{1} + L_{2} )I_{max}^{2} }{2}$,
откуда
$I_{max} = U_{0} \sqrt{ \frac{C}{L_{1} + L_{2} } }$.
В этот момент замыкают ключ $K_{2}$. Закон Ома для контура, содержащего катушку индуктивностью $L_{1}$ и замкнутый ключ $K_{2}$, позволяет записать
$L_{1} \frac{dI_{1}}{dt} = 0$,
где $I_{1}$ - ток через катушку после замыкания ключа. Уравнение для тока $I_{1}$ означает, что ток через катушку индуктивностью $L_{1}$ после замыкания ключа $K_{2}$ будет оставаться постоянным и равным $I_{max}$, т.е.
$I_{1} = I_{max} = U_{0} \sqrt{ \frac{C}{L_{1} + L_{2} } }$.
Ток через катушку индуктивностью $L_{2}$ будет уменьшаться по гармоническому закону, но уже с частотой $\omega = \frac{1}{ \sqrt{L_{2}C }}$. Напряжение на конденсаторе будет расти, и когда оно достигнет максимального значения $U_{max}$, ток через катушку индуктивностью $L_{2}$ будет равен нулю. Это напряжение можно найти по закону сохранения энергии:
$\frac{CU_{0}^{2}}{2} = \frac{L_{1}I_{1}^{2} }{2} + \frac{CU_{max}^{2} }{2} = \frac{CL_{1}U_{0}^{2}}{2(L_{1} + L_{2} )} + \frac{CU_{max}^{2}}{2}$,
откуда
$U_{max} = U_{0} \sqrt{ \frac{L_{2} }{L_{1} + L_{2} } }$.
В схеме, изображенной на рисунке, две катушки с индуктивностями $L_{1}$ и $L_{2}$ соединены последовательно с конденсатором емкостью $C$. В начальный момент ключи $K_{1}$ и $K_{2}$ разомкнуты, а конденсатор заряжен до напряжения $U_{0}$. Сначала замыкают ключ $K_{1}$, а потом, после того как напряжение на конденсаторе станет равным нулю, замыкают ключ $K_{2}$. Через некоторое время после замыкания ключа $K_{2}$ конденсатор перезарядится до некоторого максимального напряжения. Определите величину этого напряжения.
Решение:
После замыкания ключа $K_{1}$ конденсатор начнет разряжаться, и в контуре по синусоидальному закону будет нарастать ток. Через четверть периода, т.е. через промежуток времени, равный $\frac{ \pi }{2} \sqrt{(L_{1} + L_{2}) C}$, напряжение на конденсаторе станет равным нулю, а ток в контуре достигнет максимального значения $I_{max}$. Величину этого тока найдем по закону сохранения энергии:
$\frac{CU_{0}^{2} }{2} = \frac{(L_{1} + L_{2} )I_{max}^{2} }{2}$,
откуда
$I_{max} = U_{0} \sqrt{ \frac{C}{L_{1} + L_{2} } }$.
В этот момент замыкают ключ $K_{2}$. Закон Ома для контура, содержащего катушку индуктивностью $L_{1}$ и замкнутый ключ $K_{2}$, позволяет записать
$L_{1} \frac{dI_{1}}{dt} = 0$,
где $I_{1}$ - ток через катушку после замыкания ключа. Уравнение для тока $I_{1}$ означает, что ток через катушку индуктивностью $L_{1}$ после замыкания ключа $K_{2}$ будет оставаться постоянным и равным $I_{max}$, т.е.
$I_{1} = I_{max} = U_{0} \sqrt{ \frac{C}{L_{1} + L_{2} } }$.
Ток через катушку индуктивностью $L_{2}$ будет уменьшаться по гармоническому закону, но уже с частотой $\omega = \frac{1}{ \sqrt{L_{2}C }}$. Напряжение на конденсаторе будет расти, и когда оно достигнет максимального значения $U_{max}$, ток через катушку индуктивностью $L_{2}$ будет равен нулю. Это напряжение можно найти по закону сохранения энергии:
$\frac{CU_{0}^{2}}{2} = \frac{L_{1}I_{1}^{2} }{2} + \frac{CU_{max}^{2} }{2} = \frac{CL_{1}U_{0}^{2}}{2(L_{1} + L_{2} )} + \frac{CU_{max}^{2}}{2}$,
откуда
$U_{max} = U_{0} \sqrt{ \frac{L_{2} }{L_{1} + L_{2} } }$.
