Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15114
2021-04-05 
Конденсатор емкостью $C$, заряженный до разности потенциалов $U_{0}$, через ключ K подключен к двум катушкам с индуктивностями $L_{1}$ и $L_{2}$ (рис.). Если замкнуть ключ, то через некоторое время конденсатор полностью перезарядится (напряжение на конденсаторе поменяет знак). Какие заряды протекут через катушки за это время?
Решение:
Покажем, что после замыкания ключа в образовавшемся колебательном контуре происходят гармонические колебания токов в катушках и что, самое главное, колебания токов в катушках происходят синфазно, но с разными амплитудами.
Рассмотрим произвольный момент времени после замыкания ключа. Пусть в этот момент в цепи текут токи, изображенные на рисунке, а напряжение на конденсаторе равно $U$. По закону сохранения заряда,
$I_{C} = I_{1} + I_{2}$. (1)
Запишем закон Ома для контура, содержащего конденсатор и катушку индуктивностью $L_{1}$:
$L_{1} \frac{dI_{1}}{dt} = U$, (2)
и для контура, охватывающего катушки с индуктивностями $L_{1}$ и $L_{2}$:
$L_{1} \frac{dI_{1} }{dt} = L_{2} \frac{dI_{2} }{dt}$. (3)
Связь между током $I_{C}$ и напряжением на конденсаторе $U$ имеет вид
$I_{C} = - C \frac{dU}{dt}$. (4)
Продифференцируем уравнение (2) по времени:
$L_{1}I_{1}^{ \prime \prime } - U^{ \prime } = 0$.
Подставив сюда $U^{ \prime}$ из уравнения (4) и $I_{C}$ из равенства (1), получим
$L_{1}I_{1}^{ \prime \prime } + \frac{1}{C} (I_{1} + I_{2}) = 0$. (5)
Теперь перепишем уравнение (3) несколько иначе:
$\frac{d}{dt} (L_{1} I_{1} - L_{2}I_{2} ) = 0$.
Решение этого уравнения имеет вид
$L_{1}I_{1} - L_{2}I_{2} = const$.
Поскольку начальные токи в катушках равны нулю, константа также равна нулю, и мы получаем связь между токами $I_{1}$ и $I_{2}$:
$L_{1}I_{1} = L_{2}I_{2}$. (6)
Выражая отсюда $I_{2}$ и подставляя в (5), получим уравнение относительно $I_{1}$:
$I_{1}^{ \prime \prime } + \frac{L_{1} + L_{2} }{CL_{1}L_{2} } I_{1} = 0$.
Это уравнение описывает гармонические колебания тока $I_{1}$ с частотой
$\omega = \sqrt{ \frac{L_{1} + L_{2} }{CL_{1}L_{2} } }$.
Поскольку токи $I_{1}$ и $I_{2}$ в любой момент времени связаны соотношением (6), оба тока изменяются по одному и тому же гармоническому закону, но с разными амплитудами. Очевидно, что суммарный заряд, который протечет через обе катушки, равен
$Q = Q_{1} + Q_{2} = 2CU_{0}$.
Отношение заряда, протекающего через катушку индуктивностью $L_{1}$, к заряду, протекшему через катушку индуктивностью $L_{2}$, равно
$\frac{Q_{1} }{Q_{2} } = \frac{I_{1} }{I_{2} } = \frac{L_{2}}{L_{1} }$.
Следовательно,
$Q_{1} = \frac{2CU_{0}L_{2}}{L_{1} + L_{2} }, Q_{2} = \frac{2CU_{0}L_{1}}{L_{1} + L_{2} }$.
Конденсатор емкостью $C$, заряженный до разности потенциалов $U_{0}$, через ключ K подключен к двум катушкам с индуктивностями $L_{1}$ и $L_{2}$ (рис.). Если замкнуть ключ, то через некоторое время конденсатор полностью перезарядится (напряжение на конденсаторе поменяет знак). Какие заряды протекут через катушки за это время?
Решение:
Покажем, что после замыкания ключа в образовавшемся колебательном контуре происходят гармонические колебания токов в катушках и что, самое главное, колебания токов в катушках происходят синфазно, но с разными амплитудами.
Рассмотрим произвольный момент времени после замыкания ключа. Пусть в этот момент в цепи текут токи, изображенные на рисунке, а напряжение на конденсаторе равно $U$. По закону сохранения заряда,
$I_{C} = I_{1} + I_{2}$. (1)
Запишем закон Ома для контура, содержащего конденсатор и катушку индуктивностью $L_{1}$:
$L_{1} \frac{dI_{1}}{dt} = U$, (2)
и для контура, охватывающего катушки с индуктивностями $L_{1}$ и $L_{2}$:
$L_{1} \frac{dI_{1} }{dt} = L_{2} \frac{dI_{2} }{dt}$. (3)
Связь между током $I_{C}$ и напряжением на конденсаторе $U$ имеет вид
$I_{C} = - C \frac{dU}{dt}$. (4)
Продифференцируем уравнение (2) по времени:
$L_{1}I_{1}^{ \prime \prime } - U^{ \prime } = 0$.
Подставив сюда $U^{ \prime}$ из уравнения (4) и $I_{C}$ из равенства (1), получим
$L_{1}I_{1}^{ \prime \prime } + \frac{1}{C} (I_{1} + I_{2}) = 0$. (5)
Теперь перепишем уравнение (3) несколько иначе:
$\frac{d}{dt} (L_{1} I_{1} - L_{2}I_{2} ) = 0$.
Решение этого уравнения имеет вид
$L_{1}I_{1} - L_{2}I_{2} = const$.
Поскольку начальные токи в катушках равны нулю, константа также равна нулю, и мы получаем связь между токами $I_{1}$ и $I_{2}$:
$L_{1}I_{1} = L_{2}I_{2}$. (6)
Выражая отсюда $I_{2}$ и подставляя в (5), получим уравнение относительно $I_{1}$:
$I_{1}^{ \prime \prime } + \frac{L_{1} + L_{2} }{CL_{1}L_{2} } I_{1} = 0$.
Это уравнение описывает гармонические колебания тока $I_{1}$ с частотой
$\omega = \sqrt{ \frac{L_{1} + L_{2} }{CL_{1}L_{2} } }$.
Поскольку токи $I_{1}$ и $I_{2}$ в любой момент времени связаны соотношением (6), оба тока изменяются по одному и тому же гармоническому закону, но с разными амплитудами. Очевидно, что суммарный заряд, который протечет через обе катушки, равен
$Q = Q_{1} + Q_{2} = 2CU_{0}$.
Отношение заряда, протекающего через катушку индуктивностью $L_{1}$, к заряду, протекшему через катушку индуктивностью $L_{2}$, равно
$\frac{Q_{1} }{Q_{2} } = \frac{I_{1} }{I_{2} } = \frac{L_{2}}{L_{1} }$.
Следовательно,
$Q_{1} = \frac{2CU_{0}L_{2}}{L_{1} + L_{2} }, Q_{2} = \frac{2CU_{0}L_{1}}{L_{1} + L_{2} }$.
