Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15113
2021-04-05 
В схеме, изображенной на рисунке, ключ K на некоторое время замыкают, а потом снова размыкают. Определите время, на которое был замкнут ключ, если после его размыкания максимальное напряжение на конденсаторе было равно $2 \mathcal{E}$. Считать заданными $L$ и $C$. Внутренним сопротивлением батареи пренебречь.
Решение:
Сразу после замыкания ключа конденсатор емкостью $C$ моментально зарядится до напряжения, равного ЭДС батареи $\mathcal{E}$, и это напряжение на конденсаторе будет оставаться неизменным, пока ключ K будет замкнут. Очевидно, что начальный ток через катушку индуктивности был равен нулю. Закон Ома для замкнутого контура, охватывающего батарею и катушку, можно записать в виде
$\mathcal{E} = L \frac{dI}{dt}$,
где $I$ - ток через катушку. Умножим обе части этого уравнения на $dt$ и проинтегрируем:
$ \mathcal{E} \int_{0}^{t}dt = L \int_{0}^{I}dI$.
После интегрирования получим такую зависимость тока от времени:
$I = \frac{ \mathcal{E} }{L}t$.
Если мы разомкнем ключ через время $\tau$, то ток через катушку сразу после размыкания будет равен
$I( \tau ) = \frac{ \mathcal{E} }{L} \tau$,
а напряжение на конденсаторе по-прежнему будет равно $\mathcal{E}$. После размыкания ключа в $LC$-контуре начнутся гармонические колебания тока при сохранении энергии, запасенной в контуре в момент размыкания ключа. Полная энергия в контуре после размыкания ключа равна
$W = \frac{LI^{2}( \tau ) }{2} + \frac{C \mathcal{E}^{2} }{2}$.
В момент, когда напряжение на конденсаторе достигает максимального значения, ток в контуре равен нулю, и вся энергия контура сосредоточена в конденсаторе, напряжение на котором удвоится:
$W = \frac{C(2 \mathcal{E} )^{2}}{2} = 2C \mathcal{E}^{2}$.
Приравнивая обе энергии, получим
$\frac{ \mathcal{E}^{2} \tau^{2} }{2L} + \frac{C \mathcal{E}^{2} }{2} = 2C \mathcal{E}^{2}$,
откуда
$\tau = \sqrt{3 LC}$.
В схеме, изображенной на рисунке, ключ K на некоторое время замыкают, а потом снова размыкают. Определите время, на которое был замкнут ключ, если после его размыкания максимальное напряжение на конденсаторе было равно $2 \mathcal{E}$. Считать заданными $L$ и $C$. Внутренним сопротивлением батареи пренебречь.
Решение:
Сразу после замыкания ключа конденсатор емкостью $C$ моментально зарядится до напряжения, равного ЭДС батареи $\mathcal{E}$, и это напряжение на конденсаторе будет оставаться неизменным, пока ключ K будет замкнут. Очевидно, что начальный ток через катушку индуктивности был равен нулю. Закон Ома для замкнутого контура, охватывающего батарею и катушку, можно записать в виде
$\mathcal{E} = L \frac{dI}{dt}$,
где $I$ - ток через катушку. Умножим обе части этого уравнения на $dt$ и проинтегрируем:
$ \mathcal{E} \int_{0}^{t}dt = L \int_{0}^{I}dI$.
После интегрирования получим такую зависимость тока от времени:
$I = \frac{ \mathcal{E} }{L}t$.
Если мы разомкнем ключ через время $\tau$, то ток через катушку сразу после размыкания будет равен
$I( \tau ) = \frac{ \mathcal{E} }{L} \tau$,
а напряжение на конденсаторе по-прежнему будет равно $\mathcal{E}$. После размыкания ключа в $LC$-контуре начнутся гармонические колебания тока при сохранении энергии, запасенной в контуре в момент размыкания ключа. Полная энергия в контуре после размыкания ключа равна
$W = \frac{LI^{2}( \tau ) }{2} + \frac{C \mathcal{E}^{2} }{2}$.
В момент, когда напряжение на конденсаторе достигает максимального значения, ток в контуре равен нулю, и вся энергия контура сосредоточена в конденсаторе, напряжение на котором удвоится:
$W = \frac{C(2 \mathcal{E} )^{2}}{2} = 2C \mathcal{E}^{2}$.
Приравнивая обе энергии, получим
$\frac{ \mathcal{E}^{2} \tau^{2} }{2L} + \frac{C \mathcal{E}^{2} }{2} = 2C \mathcal{E}^{2}$,
откуда
$\tau = \sqrt{3 LC}$.
