Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15110
2021-04-05 
Боковые стенки цилиндра АС и BD, его крышка CD и невесомый поршень MN выполнены из материала, не проводящего тепло (рис.). Дно АВ проводит тепло. Поршень может перемещаться в цилиндре без трения. Сверху и снизу от поршня находится по одному молю одноатомного идеального газа. Тепло может подводиться к газу (или отводиться от газа) в нижней части цилиндра через дно АВ. Выразите теплоемкость $C_{1}$ нижнего газа через объемы газов $V_{1}$ и $V_{2}$. Чему равна при этом теплоемкость $C_{2}$ верхнего газа?
Решение:
В исходном состоянии нижний газ занимает объем $V_{1}$, имеет некоторое давление $p$ и некоторую температуру $T_{1}$, а верхний газ занимает объем $V_{2}$, его давление также $p$, а температура $T_{2}$.
Пусть через дно АВ в сосуд подвели небольшое количество теплоты $\Delta Q$. Очевидно, что это тепло поступит только к нижнему газу, поскольку поршень MN не проводит тепло. Следовательно, мы можем записать
$\Delta Q = C_{1} \Delta T_{1}$,
где $C_{1}$ - теплоемкость, а $\Delta T_{1}$ - изменение температуры нижнего газа. По первому началу термодинамики,
$C_{1} \Delta T_{1} = C_{V} \Delta T_{1} + p \Delta V_{1}$.
Из уравнения состояния найдем связь бесконечно малых приращений параметров нижнего газа $\Delta T_{1}, \Delta V_{1}$, и $\Delta p$:
$\Delta (pV_{1}) = R \Delta T_{1}$, или $\Delta pV_{1} + p \Delta V_{1} = R \Delta T_{1}$.
Теперь обратимся к верхнему газу. Над этим газом совершается адиабатический процесс. Уравнение такого процесса (когда теплоемкость равна нулю:
$pV_{2}^{ \frac{C_{V} + R }{C_{V} } } = const$.
Обозначим показатель степени при $V_{2}$ через $\gamma$:
$\gamma = \frac{C_{V} + R }{C_{V} }$
и возьмем бесконечно малое приращение от обеих частей уравнения адиабаты:
$\Delta (pV_{2}^{ \gamma }) = 0$.
Проведя дифференцирование произведения двух функций, получим
$\Delta pV_{2}^{ \gamma } + \gamma pV_{2}^{ \gamma - 1} \Delta V_{2} = 0$,
или, после сокращения на $V_{2}^{ \gamma - 1}$,
$\Delta pV_{2} + \gamma p \Delta V_{2} = 0$.
Отсюда, поскольку $\Delta V_{2} = - \Delta V_{1}$, найдем
$\Delta p = \gamma p \frac{ \Delta V_{1} }{V_{2} }$.
Воспользуемся тем, что приращения давления для нижнего и верхнего газов одинаковы, и получим
$\gamma p \frac{V_{1} }{V_{2} } \Delta V_{1} + p \Delta V_{1} = R \Delta T_{1}$,
откуда
$\Delta V_{1} = \frac{R \Delta T_{1} }{ p \left ( 1 + \gamma \frac{V_{1} }{V_{2} } \right ) }$.
Затем из первого начала термодинамики найдем теплоемкость нижнего газа:
$C_{1} = C_{V} + \frac{R}{ \left ( 1 + \gamma \frac{V_{1} }{V_{2} } \right ) }$.
Поскольку для одноатомного газа $C_{V} = \frac{3}{2} R$, а $\gamma = \frac{5}{3}$, то
$C_{1} = \left ( \frac{3}{2} + \frac{1}{ 1 + \frac{5}{3} \frac{V_{1} }{V_{2} } } \right )R = \frac{15}{2} \frac{(V_{1} + V_{2} )}{(5V_{1} + 3V_{2} )} R$.
Очевидно, что при этом теплоемкость верхнего газа $C_{2} = 0$ (адиабатический процесс).
Боковые стенки цилиндра АС и BD, его крышка CD и невесомый поршень MN выполнены из материала, не проводящего тепло (рис.). Дно АВ проводит тепло. Поршень может перемещаться в цилиндре без трения. Сверху и снизу от поршня находится по одному молю одноатомного идеального газа. Тепло может подводиться к газу (или отводиться от газа) в нижней части цилиндра через дно АВ. Выразите теплоемкость $C_{1}$ нижнего газа через объемы газов $V_{1}$ и $V_{2}$. Чему равна при этом теплоемкость $C_{2}$ верхнего газа?
Решение:
В исходном состоянии нижний газ занимает объем $V_{1}$, имеет некоторое давление $p$ и некоторую температуру $T_{1}$, а верхний газ занимает объем $V_{2}$, его давление также $p$, а температура $T_{2}$.
Пусть через дно АВ в сосуд подвели небольшое количество теплоты $\Delta Q$. Очевидно, что это тепло поступит только к нижнему газу, поскольку поршень MN не проводит тепло. Следовательно, мы можем записать
$\Delta Q = C_{1} \Delta T_{1}$,
где $C_{1}$ - теплоемкость, а $\Delta T_{1}$ - изменение температуры нижнего газа. По первому началу термодинамики,
$C_{1} \Delta T_{1} = C_{V} \Delta T_{1} + p \Delta V_{1}$.
Из уравнения состояния найдем связь бесконечно малых приращений параметров нижнего газа $\Delta T_{1}, \Delta V_{1}$, и $\Delta p$:
$\Delta (pV_{1}) = R \Delta T_{1}$, или $\Delta pV_{1} + p \Delta V_{1} = R \Delta T_{1}$.
Теперь обратимся к верхнему газу. Над этим газом совершается адиабатический процесс. Уравнение такого процесса (когда теплоемкость равна нулю:
$pV_{2}^{ \frac{C_{V} + R }{C_{V} } } = const$.
Обозначим показатель степени при $V_{2}$ через $\gamma$:
$\gamma = \frac{C_{V} + R }{C_{V} }$
и возьмем бесконечно малое приращение от обеих частей уравнения адиабаты:
$\Delta (pV_{2}^{ \gamma }) = 0$.
Проведя дифференцирование произведения двух функций, получим
$\Delta pV_{2}^{ \gamma } + \gamma pV_{2}^{ \gamma - 1} \Delta V_{2} = 0$,
или, после сокращения на $V_{2}^{ \gamma - 1}$,
$\Delta pV_{2} + \gamma p \Delta V_{2} = 0$.
Отсюда, поскольку $\Delta V_{2} = - \Delta V_{1}$, найдем
$\Delta p = \gamma p \frac{ \Delta V_{1} }{V_{2} }$.
Воспользуемся тем, что приращения давления для нижнего и верхнего газов одинаковы, и получим
$\gamma p \frac{V_{1} }{V_{2} } \Delta V_{1} + p \Delta V_{1} = R \Delta T_{1}$,
откуда
$\Delta V_{1} = \frac{R \Delta T_{1} }{ p \left ( 1 + \gamma \frac{V_{1} }{V_{2} } \right ) }$.
Затем из первого начала термодинамики найдем теплоемкость нижнего газа:
$C_{1} = C_{V} + \frac{R}{ \left ( 1 + \gamma \frac{V_{1} }{V_{2} } \right ) }$.
Поскольку для одноатомного газа $C_{V} = \frac{3}{2} R$, а $\gamma = \frac{5}{3}$, то
$C_{1} = \left ( \frac{3}{2} + \frac{1}{ 1 + \frac{5}{3} \frac{V_{1} }{V_{2} } } \right )R = \frac{15}{2} \frac{(V_{1} + V_{2} )}{(5V_{1} + 3V_{2} )} R$.
Очевидно, что при этом теплоемкость верхнего газа $C_{2} = 0$ (адиабатический процесс).
