2021-04-05
По гладкой проволочной винтовой линии радиусом $R$ с шагом $h$, ось которой вертикальна, скользит с нулевой начальной скоростью бусинка массой $m$. За какое время $T$ бусинка опустится по вертикали на $H$? С какой по величине $F$ силой бусинка действует на проволоку в этот момент? Ускорение свободного падения $g$.
Решение:
На бусинку действуют силы тяжести $m \vec{g}$ и нормальной реакции $\vec{N} = \vec{N}_{1} + \vec{N}_{2}$, где $\vec{N}_{1}$ направлена горизонтально (перпендикулярно плоскости рисунка), а $\vec{N}_{2}$ лежит в одной плоскости с векторами $m \vec{g}$ и $\vec{v}$.
Для ответа на вопросы задачи найдем касательную и нормальную составляющие ускорения. По второму закону Ньютона,
$m \vec{a} = m \vec{g} + \vec{N}_{1} + \vec{N}_{2}$.
Переходя к проекциям сил и ускорения на касательное направление, находим
$a_{ \tau} = g \sin \alpha$.
Здесь $\alpha$ - угол наклона вектора скорости к горизонту такой, что
$\sin \alpha = \frac{h}{ \sqrt{ 4 \pi^{2} R^{2} + h^{2} } }$.
По закону сохранения энергии,
$m \frac{v^{2} }{2} = mgH$, и $v = \sqrt{2gH}$.
Касательная составляющая ускорения постоянна, начальная скорость равна нулю, следовательно, модуль вектора скорости растет со временем по линейному закону. Отсюда для искомого времени получаем
$T = \frac{v}{a_{ \tau } } = \frac{ \sqrt{2gH} }{g \sin \alpha } = \sqrt{ \frac{2H (4 \pi^{2}R^{2} + h^{2} ) }{gh^{2} } }$.
Для определения нормальной составляющей ускорения перейдем в подвижную систему отсчета, поступательно движущуюся относительно лаборатории по вертикали вниз со скоростью $v \sin \alpha$. В этой системе бусинка ускоренно движется по окружности радиусом $R$ со скоростью $v \cos \alpha$, при этом нормальная составляющая ускорения бусинки по величине равна $a_{n} = \frac{(v \cos \alpha )^{2}}{R}$. Так как ускорение подвижной системы сонаправлено с $\vec{g}$, нормальная составляющая ускорения бусинки при переходе в лабораторную систему отсчета не изменится (это следует из правила сложения ускорений).
Из второго закона Ньютона находим составляющие силы, с которой проволока действует на бусинку:
$N_{1} = m \frac{(v \cos \alpha )^{2}}{R} = mg \frac{2H}{R} \cos^{2} \alpha, N_{2} = mg \cos \alpha$, где $\cos \alpha = \frac{2 \pi R}{ \sqrt{4 \pi^{2}R^{2} + h^{2} } }$.
По третьему закону Ньютона бусинка действует на проволоку силой $\vec{F} = - ( \vec{N}_{1} + \vec{N}_{2} )$, величина (модуль) которой равна
$F = \sqrt{ N_{1}^{2} + N_{2}^{2}} = mg \frac{2 \pi R}{ 4 \pi^{2}R^{2} + h^{2} } \sqrt{ 4 \pi^{2}R^{2} + h^{2} + 16 \pi^{2}H^{2} }$.