2021-04-05
Ведущие колеса паровоза соединены реечной передачей, одно звено которой представляет собой плоскую горизонтальную штангу, шарнирно прикрепленную к спицам соседних колес на расстоянии $R/2$ от оси, где $R$ - радиус колеса. При осмотре паровоза механик поставил на эту штангу ящик и по рассеянности забыл его там. Паровоз трогается с места и очень медленно набирает скорость. Оцените скорость $v_{1}$ паровоза, при которой ящик начнет проскальзывать относительно штанги. Коэффициент трения скольжения ящика по штанге $\mu = 0,4$, радиус колеса $R = 0,8 м$, ускорение свободного падения $g = 10 м/с^{2}$.
Решение:
Перейдем в систему отсчета, связанную с паровозом (рис.). Поскольку разгон происходит очень медленно, эту систему можно считать инерциальной. До начала проскальзывания ящик движется по окружности радиусом $r = R/2$. По второму закону Ньютона,
$m \vec{a} = m \vec{g} + \vec{N} + \vec{F}_{тр}$.
Вектор ускорения ящика направлен к центру окружности и по величине равен $a = \omega^{2}r$, где $\omega$ - угловая скорость вращения колес паровоза. Обозначим угол, который вектор ускорения образует в данный момент времени с горизонтом, буквой $\beta$. Переходя к проекциям сил и ускорения на горизонтальную и вертикальную оси, с учетом того, что $F_{тр} \leq \mu N$, получаем
$m \omega^{2}r \cos \beta \leq \mu N $,
$m \omega^{2}r \sin \beta = mg - N$.
Исключив отсюда силу реакции опоры, приходим к неравенству
$\omega^{2}r ( \cos \beta + \mu \sin \beta ) \leq \mu g$.
Наибольшее значение выражения
$\cos \beta + \mu \sin \beta = \sqrt{1 + \mu^{2}} \cos ( \beta - \alpha )$,
где угол $\alpha$ таков, что $\cos \alpha = \frac{1}{ \sqrt{1 + \mu^{2} } }$ и $\sin \alpha = \frac{ \mu }{ \sqrt{1 + \mu^{2} } }$, достигается при $\beta = \alpha$ и равно $\sqrt{1 + \mu^{2}}$. Движение груза будет происходить без проскальзывания до тех пор, пока угловая скорость вращения колес паровоза будет удовлетворять неравенству
$\omega \leq \sqrt{ \frac{ \mu g}{r \sqrt{1 + \mu^{2} } } }$.
Отсюда для искомой скорости паровоза $v_{1}$ получаем
$v_{1} = \omega R = \sqrt{ \frac{2 \mu gR}{ \sqrt{1 + \mu^{2} } } } = 2,4 м/с$.