Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15106
2021-04-05 
Однородную цепочку длиной $L$ поместили на гладкую сферическую поверхность радиусом $R$ так, что один ее конец закреплен на вершине сферы. Верхний конец цепочки освобождают. С каким по величине ускорением $a_{ \tau }$ будет двигаться сразу после освобождения каждый элемент цепочки? Масса единицы длины цепочки $\rho$. Ускорение свободного падения $g$.
Решение:
Рассмотрим элементарный участок цепочки длиной $\Delta L = R \Delta \phi$ (рис.). Его масса равна $\Delta m = \rho \Delta L$. Силы, действующие на выделенный участок, показаны на рисунке. По второму закону Ньютона,
$\Delta m \vec{a} = \vec{T} ( \phi + \Delta \phi ) + \vec{T} ( \phi ) + \Delta m \vec{g} + \Delta \vec{N}$.
Переходя к проекциям сил и ускорений на касательное направление, получаем
$\Delta m a_{ \tau } = T ( \phi + \Delta \phi ) - T( \phi ) + \Delta mg \sin \phi$.
Перепишем полученное соотношение в виде
$\Delta T = \rho R ( a_{ \tau } - g \sin \phi ) \Delta \phi$.
Просуммируем приращения силы натяжения по всей длине цепочки:
$\sum \Delta T = \rho R \sum (a_{ \tau } - g \sin \phi ) \Delta \phi$.
Теперь учтем, что на свободных концах цепочки силы натяжения обращаются в ноль, т.е. $\sum \Delta T = 0$, что ускорение $a_{ \tau}$ одинаково у всех элементарных фрагментов, $\sum \Delta \phi = \frac{L}{R}, \Delta ( \cos \phi ) = - sin \phi \Delta \phi$, и получим
$a_{ \tau } = g \frac{R}{L} \left ( 1 - \cos \frac{L}{R} \right )$.
Однородную цепочку длиной $L$ поместили на гладкую сферическую поверхность радиусом $R$ так, что один ее конец закреплен на вершине сферы. Верхний конец цепочки освобождают. С каким по величине ускорением $a_{ \tau }$ будет двигаться сразу после освобождения каждый элемент цепочки? Масса единицы длины цепочки $\rho$. Ускорение свободного падения $g$.
Решение:
Рассмотрим элементарный участок цепочки длиной $\Delta L = R \Delta \phi$ (рис.). Его масса равна $\Delta m = \rho \Delta L$. Силы, действующие на выделенный участок, показаны на рисунке. По второму закону Ньютона,
$\Delta m \vec{a} = \vec{T} ( \phi + \Delta \phi ) + \vec{T} ( \phi ) + \Delta m \vec{g} + \Delta \vec{N}$.
Переходя к проекциям сил и ускорений на касательное направление, получаем
$\Delta m a_{ \tau } = T ( \phi + \Delta \phi ) - T( \phi ) + \Delta mg \sin \phi$.
Перепишем полученное соотношение в виде
$\Delta T = \rho R ( a_{ \tau } - g \sin \phi ) \Delta \phi$.
Просуммируем приращения силы натяжения по всей длине цепочки:
$\sum \Delta T = \rho R \sum (a_{ \tau } - g \sin \phi ) \Delta \phi$.
Теперь учтем, что на свободных концах цепочки силы натяжения обращаются в ноль, т.е. $\sum \Delta T = 0$, что ускорение $a_{ \tau}$ одинаково у всех элементарных фрагментов, $\sum \Delta \phi = \frac{L}{R}, \Delta ( \cos \phi ) = - sin \phi \Delta \phi$, и получим
$a_{ \tau } = g \frac{R}{L} \left ( 1 - \cos \frac{L}{R} \right )$.
