2021-04-05
На горизонтальной платформе стоит сосуд с водой (рис.). В сосуде закреплен тонкий стержень АВ, наклоненный к горизонту под углом $\alpha$. Однородный шарик радиусом $R$ может скользить без трения вдоль стержня, проходящего через его центр. Плотность материала шарика $\rho_{0}$, плотность воды $\rho , \rho_{0} < \rho$. При вращении системы с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси, проходящей через нижний конец А стержня, центр шарика устанавливается на расстоянии $L$ от этого конца. С какой по величине силой $F$ шарик действует на стержень? Какова угловая скорость $\omega$ вращения платформы? При какой минимальной угловой скорости $\omega_{min}$ шарик «утонет», т.е. окажется у дна сосуда?
Решение:
Обозначим объем шарика $V$ ($V = \frac{4}{3} \pi R^{3}$). На шарик будут действовать три силы: сила тяжести $\rho_{0}V \vec{g}$, сила нормальной реакции $\vec{N}$ со стороны стержня (шарик действует на стержень с такой же по величине и противоположной по направлению силой) и сила Архимеда $\vec{F}_{A}$. Найдем архимедову силу.
Рассмотрим движение жидкости в отсутствие шарика. Любой элементарный объем воды равномерно движется по окружности радиусом $r$ в горизонтальной плоскости. Следовательно, вертикальная составляющая суммы сил давления (силы Архимеда) уравновешивает силу тяжести, действующую на жидкость в рассматриваемом объеме, а горизонтальная составляющая сообщает этой жидкости центростремительное ускорение $a_{n} = \omega^{2}r$. При замещении жидкости шариком эти составляющие не изменяются, а сила, действующая на водяной шарик со стороны тонкого стержня, равна нулю. Тогда вертикальная составляющая силы Архимеда по величине равна силе тяжести водяного шара:
$F_{Az} = \rho Vg$,
а направленная к оси вращения составляющая силы Архимеда сообщает водяному шару центростремительное ускорение $a_{n} = \omega^{2}L \cos \alpha$ и по величине равна
$F_{An} = \rho V \omega^{2}L \cos \alpha$.
Под действием приложенных сил шарик движется равномерно по окружности радиусом $L \cos \alpha$ в горизонтальной плоскости (рис.). По второму закону Ньютона,
$m \vec{a} = m \vec{g} + \vec{N} + \vec{F}_{A}$.
Переходя к проекциям сил и ускорений на вертикальную ось, находим
$\rho Vg - \rho_{0}Vg - N \cos \alpha = 0$.
Проектируя силы и ускорения в горизонтальной плоскости на радиальное направление, получаем
$\rho_{0}VL \omega^{2} \cos \alpha = \rho VL \omega^{2} \cos \alpha - N \sin \alpha$.
Из двух последних соотношений определяем величину силы нормальной реакции стержня, а значит, и силу давления шарика на стержень:
$F = N = \frac{( \rho - \rho_{0} )Vg }{ \cos \alpha }$
и угловую скорость:
$\omega = \sqrt{ \frac{g tg \alpha}{L \cos \alpha}}$.
Как видим, с ростом угловой скорости $\omega$ расстояние $L$ уменьшается. В момент, когда шар приблизится ко дну, $L = \frac{R}{ \sin \alpha }$, при этом
$\omega_{min} = \sqrt{ \frac{g}{R} } tg \alpha$.