Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15102
2021-04-05 
Точечный источник света расположен на главной оптической оси на расстоянии $d = 30 см$ от тонкой собирающей линзы, оптическая сила которой $D = 5 дптр$. Диаметр линзы $b = 1 см$. На какое расстояние $\Delta x$ сместится изображение источника, если между ним и линзой перпендикулярно ее главной оптической оси поместить стеклянную пластинку толщиной $h = 15 см$ с показателем преломления $n = 1,57$?
Решение:
По условию задачи отношение диаметра $b$ линзы к расстоянию $d$, на котором находится от нее точечный источник $S$, существенно меньше единицы, поэтому можно считать, что все лучи от этого источника, проходящие через линзу, образуют с ее главной оптической осью малые углы, т.е. выполняется так называемое параксиальное приближение. Следовательно, все прошедшие сквозь линзу лучи должны пересекаться в одной точке, создавая действительное точечное изображение источника, находящееся, согласно формуле тонкой линзы, на расстоянии
$f = \frac{d}{dD - 1}$
от ее главной плоскости (мы учли, что источник находится перед линзой на расстоянии $d = 30 см$, большем ее фокусного расстояния $F = D^{-1} = 20 см$).
После установки пластинки все падающие на линзу лучи, за исключением луча, идущего вдоль главной оптической оси линзы, будут испытывать преломление в пластинке. На рисунке показан ход одного из лучей, образующих с главной оптической осью линзы Л угол $\alpha$. После преломления на передней грани пластинки этот луч будет распространяться в пластинке под углом $\beta$ к перпендикуляру, восставленному в точке падения к поверхности пластинки. Учитывая, что пластинка является плоско параллельной и по обе стороны от нее находится одна и та же среда, на основании закона преломления получим, что после прохождения пластинки направление распространения луча не изменится, но он сместится на расстояние $\delta$. Из рисунка видно, что
$\delta = \frac{h}{ \cos \beta } \sin ( \alpha - \beta )$,
при этом точка $S_{1}$ пересечения продолжения выходящего из пластинки луча с главной оптической осью линзы сместится к линзе относительно источника $S$ на расстояние
$SS_{1} = \frac{ \delta }{ \sin \alpha } = \frac{ \sin ( \alpha - \beta ) }{ \sin \alpha \cos \beta } h = (1 - ctg \alpha tg \beta ) h$.
Из этого выражения видно, что продолжения лучей, выходящих из источника под разными углами, будут пересекать главную оптическую ось линзы, вообще говоря, в разных точках, а потому изображение источника, формируемого линзой, при наличии перед ней плоскопараллельной пластинки будет представлять собой не точку, а некоторый отрезок прямой. Однако учитывая, что для малых углов $\sin \alpha \approx tg \alpha \approx \alpha$ и $\sin \beta \approx tg \beta \approx \frac{ \alpha}{n}$, в рассматриваемом случае получим
$SS_{1} = (1 - ctg \alpha tg \beta ) h \approx \left ( 1 - \frac{ \beta}{ \alpha} \right ) h \approx (1 - n^{-1}) h$,
т.е. продолжения всех лучей, выходящих из пластинки и попадающих на линзу, пересекаются в одной точке $S_{1}$, находящейся перед линзой на расстоянии
$d_{1} = d - SS_{1} = d - (1 - n^{-1}) h$.
Изображение этой точки, согласно формуле тонкой линзы, должно находиться от линзы на расстоянии
$f_{1} = \frac{d_{1}}{d_{1}D - 1 }$.
Таким образом, изображение источника удалится от главной плоскости линзы на расстояние
$\Delta x = f_{1} - f = \frac{(n - 1) h}{((dD - 1)n - (n - 1)hD )(dD - 1)} = 40 см$.
Точечный источник света расположен на главной оптической оси на расстоянии $d = 30 см$ от тонкой собирающей линзы, оптическая сила которой $D = 5 дптр$. Диаметр линзы $b = 1 см$. На какое расстояние $\Delta x$ сместится изображение источника, если между ним и линзой перпендикулярно ее главной оптической оси поместить стеклянную пластинку толщиной $h = 15 см$ с показателем преломления $n = 1,57$?
Решение:
По условию задачи отношение диаметра $b$ линзы к расстоянию $d$, на котором находится от нее точечный источник $S$, существенно меньше единицы, поэтому можно считать, что все лучи от этого источника, проходящие через линзу, образуют с ее главной оптической осью малые углы, т.е. выполняется так называемое параксиальное приближение. Следовательно, все прошедшие сквозь линзу лучи должны пересекаться в одной точке, создавая действительное точечное изображение источника, находящееся, согласно формуле тонкой линзы, на расстоянии
$f = \frac{d}{dD - 1}$
от ее главной плоскости (мы учли, что источник находится перед линзой на расстоянии $d = 30 см$, большем ее фокусного расстояния $F = D^{-1} = 20 см$).
После установки пластинки все падающие на линзу лучи, за исключением луча, идущего вдоль главной оптической оси линзы, будут испытывать преломление в пластинке. На рисунке показан ход одного из лучей, образующих с главной оптической осью линзы Л угол $\alpha$. После преломления на передней грани пластинки этот луч будет распространяться в пластинке под углом $\beta$ к перпендикуляру, восставленному в точке падения к поверхности пластинки. Учитывая, что пластинка является плоско параллельной и по обе стороны от нее находится одна и та же среда, на основании закона преломления получим, что после прохождения пластинки направление распространения луча не изменится, но он сместится на расстояние $\delta$. Из рисунка видно, что
$\delta = \frac{h}{ \cos \beta } \sin ( \alpha - \beta )$,
при этом точка $S_{1}$ пересечения продолжения выходящего из пластинки луча с главной оптической осью линзы сместится к линзе относительно источника $S$ на расстояние
$SS_{1} = \frac{ \delta }{ \sin \alpha } = \frac{ \sin ( \alpha - \beta ) }{ \sin \alpha \cos \beta } h = (1 - ctg \alpha tg \beta ) h$.
Из этого выражения видно, что продолжения лучей, выходящих из источника под разными углами, будут пересекать главную оптическую ось линзы, вообще говоря, в разных точках, а потому изображение источника, формируемого линзой, при наличии перед ней плоскопараллельной пластинки будет представлять собой не точку, а некоторый отрезок прямой. Однако учитывая, что для малых углов $\sin \alpha \approx tg \alpha \approx \alpha$ и $\sin \beta \approx tg \beta \approx \frac{ \alpha}{n}$, в рассматриваемом случае получим
$SS_{1} = (1 - ctg \alpha tg \beta ) h \approx \left ( 1 - \frac{ \beta}{ \alpha} \right ) h \approx (1 - n^{-1}) h$,
т.е. продолжения всех лучей, выходящих из пластинки и попадающих на линзу, пересекаются в одной точке $S_{1}$, находящейся перед линзой на расстоянии
$d_{1} = d - SS_{1} = d - (1 - n^{-1}) h$.
Изображение этой точки, согласно формуле тонкой линзы, должно находиться от линзы на расстоянии
$f_{1} = \frac{d_{1}}{d_{1}D - 1 }$.
Таким образом, изображение источника удалится от главной плоскости линзы на расстояние
$\Delta x = f_{1} - f = \frac{(n - 1) h}{((dD - 1)n - (n - 1)hD )(dD - 1)} = 40 см$.
