Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15099
2021-04-05 
На расстоянии $2R$ от центра закрепленного изолированного проводящего шара радиусом $R$ удерживают положительный точечный заряд $2Q$. Заряд самого шара равен $Q$. Какую скорость $v$ может приобрести электрон, начинающий свое движение из бесконечно удаленной от шара точки, к моменту попадания на шар?
Решение:
Предположим, что шар покоится относительно некоторой инерциальной системы отсчета, а электрон движется в вакууме, и пренебрежем потерями энергии электрона на излучение (т.е. будем считать, что ускорение электрона достаточно мало). При приближении электрона к шару, в силу явления электростатической индукции, должно происходить перераспределение заряда на шаре. Пусть величина заряда, находящегося на достаточно малом участке поверхности шара, равна $\Delta q_{i}$. По условию задачи шар изолирован, а его заряд равен $Q$, поэтому в любой момент времени $\sum \Delta q_{i}$ по всем участкам поверхности шара равна $Q$.
Будем, как обычно, считать, что потенциал электростатического поля, создаваемого покоящимся точечным зарядом $q$ в бесконечно удаленной от него точке, равен нулю. Тогда потенциал электростатического поля на расстоянии $r$ от точечного заряда будет равен
$ \phi (r) = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}r }$,
где $\epsilon_{0}$ - электрическая постоянная. Согласно принципу суперпозиции, потенциал, создаваемый системой точечных зарядов в данной точке, равен сумме потенциалов, создаваемых каждым из этих зарядов порознь в этой точке. Следовательно, потенциал центра шара, обусловленный его избыточным зарядом и точечным зарядом $2Q$, находящимся от центра шара на расстоянии $2R$, равен
$\phi = \frac{2Q}{4 \pi \epsilon_{0} \cdot 2R } + \sum \frac{ \Delta q_{i} }{4 \pi \epsilon_{0}R } = \frac{Q}{2 \pi \epsilon_{0}R }$.
Таким же будет потенциал и любой точки поверхности шара. Как известно, кулоновское стационарное поле является консервативным. Следовательно, работа сил такого поля над перемещающимся в нем электроном не зависит от вида траектории, а определяется лишь положением начальной и конечной точек. Поскольку заряд электрона отрицателен, электростатическое поле шара и точечного заряда при подлете электрона к шару совершит над электроном положительную работу $A = e \phi$, где $e$ - модуль заряда электрона. Отсюда на основании закона изменения кинетической энергии следует, что искомая скорость электрона массой $m$ при его подлете к поверхности шара должна удовлетворять неравенству
$v \leq \sqrt{ \frac{eQ}{ \pi \epsilon_{0}Rm } }$.
На расстоянии $2R$ от центра закрепленного изолированного проводящего шара радиусом $R$ удерживают положительный точечный заряд $2Q$. Заряд самого шара равен $Q$. Какую скорость $v$ может приобрести электрон, начинающий свое движение из бесконечно удаленной от шара точки, к моменту попадания на шар?
Решение:
Предположим, что шар покоится относительно некоторой инерциальной системы отсчета, а электрон движется в вакууме, и пренебрежем потерями энергии электрона на излучение (т.е. будем считать, что ускорение электрона достаточно мало). При приближении электрона к шару, в силу явления электростатической индукции, должно происходить перераспределение заряда на шаре. Пусть величина заряда, находящегося на достаточно малом участке поверхности шара, равна $\Delta q_{i}$. По условию задачи шар изолирован, а его заряд равен $Q$, поэтому в любой момент времени $\sum \Delta q_{i}$ по всем участкам поверхности шара равна $Q$.
Будем, как обычно, считать, что потенциал электростатического поля, создаваемого покоящимся точечным зарядом $q$ в бесконечно удаленной от него точке, равен нулю. Тогда потенциал электростатического поля на расстоянии $r$ от точечного заряда будет равен
$ \phi (r) = \frac{q}{4 \pi \epsilon_{0}r }$,
где $\epsilon_{0}$ - электрическая постоянная. Согласно принципу суперпозиции, потенциал, создаваемый системой точечных зарядов в данной точке, равен сумме потенциалов, создаваемых каждым из этих зарядов порознь в этой точке. Следовательно, потенциал центра шара, обусловленный его избыточным зарядом и точечным зарядом $2Q$, находящимся от центра шара на расстоянии $2R$, равен
$\phi = \frac{2Q}{4 \pi \epsilon_{0} \cdot 2R } + \sum \frac{ \Delta q_{i} }{4 \pi \epsilon_{0}R } = \frac{Q}{2 \pi \epsilon_{0}R }$.
Таким же будет потенциал и любой точки поверхности шара. Как известно, кулоновское стационарное поле является консервативным. Следовательно, работа сил такого поля над перемещающимся в нем электроном не зависит от вида траектории, а определяется лишь положением начальной и конечной точек. Поскольку заряд электрона отрицателен, электростатическое поле шара и точечного заряда при подлете электрона к шару совершит над электроном положительную работу $A = e \phi$, где $e$ - модуль заряда электрона. Отсюда на основании закона изменения кинетической энергии следует, что искомая скорость электрона массой $m$ при его подлете к поверхности шара должна удовлетворять неравенству
$v \leq \sqrt{ \frac{eQ}{ \pi \epsilon_{0}Rm } }$.
