Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15098
2021-04-05 
Между дном цилиндра и гладким поршнем при температуре $T_{1} = 111 К$ содержится смесь гелия и криптона с относительной влажностью $\phi = 0,5$. Плотность гелия в $n = 2$ раза меньше плотности криптона. Ось цилиндра горизонтальна. Вне цилиндра давление равно нормальному атмосферному. Температура кипения криптона при нормальном атмосферном давлении равна $T_{к} = 121 К$. Молярные массы гелия и криптона равны $M_{г} = 4 г/моль$ и $M_{к} = 84 г/моль$. На сколько нужно понизить температуру смеси, чтобы на стенках цилиндра выпала роса? Считать, что давление насыщенных паров криптона линейно зависит от его абсолютной температуры.
Решение:
При решении задачи будем, как обычно, считать, что поведение гелия и криптона вплоть до точки насыщения подчиняется уравнению Клапейрона-Менделеева, а охлаждение смеси происходит столь медленно, что содержимое цилиндра все время находится в состоянии термодинамического равновесия. Кроме того, будем считать, что в цилиндре существуют такие условия, при которых криптон начинает конденсироваться, как только его парциальное давление становится равным давлению $p_{нк}$ его насыщенных паров. Отметим, что, поскольку криптон в газообразном состоянии в цилиндре находится при температуре явно ниже критической ($T_{крк} \approx 210 К$), его следует называть паром, в то время как гелий ($T_{крг} = 5 К$) следует называть газом.
Согласно уравнению Клапейрона-Менделеева, плотность $\rho_{i}$ составляющей смеси, находящейся в газообразном состоянии, ее молярная масса $M_{i}$, абсолютная температура $T_{i}$ и парциальное давление $p_{i}$ должны удовлетворять уравнению
$p_{i}M_{i} = \rho_{i}RT_{i}$,
где R - универсальная газовая постоянная. Следовательно,
$n = \frac{ \rho_{к} }{ \rho_{г} } = \frac{p_{к}M_{к} }{ \rho_{г} M_{г} }$.
Сумма парциальных давлений гелия и криптона при любой температуре равна внешнему атмосферному давлению $p$, а потому парциальное давление криптона равно
$p_{к} (T_{i}) = \frac{npM_{г} }{nM_{г} + M_{к} } \phi$,
если $T_{i} \geq T_{2}$, где $T_{2}$ - абсолютная температура, при которой пары криптона становятся насыщенными.
Так как относительная влажность газопаровой смеси при температуре $T_{1}$ равна $\phi$ и криптон при нормальном атмосферном давлении кипит при температуре $T_{к}$, должны выполняться соотношения
$p_{к} (T_{1}) = \phi p_{кн} (T_{1}), p_{кн} (T_{к}) = p$ и $p_{к} ( T_{2} ) = p_{кн}( T_{2} )$,
причем
$p_{кн}(T_{i} ) = a + bT_{i}$.
Решая совместно приведенные уравнения, получаем
$\frac{T_{1} - T_{2}}{T_{к} - T_{1} } = \frac{nM_{г}(1 - \phi ) }{ \phi M_{к} - nM_{г}(1 - \phi ) }$.
Следовательно, на стенках цилиндра должна появиться роса, если температуру смеси понизить на
$\Delta T = T_{1} - T_{2} = \frac{(T_{к} - T_{1})(1 - \phi ) nM_{г}}{ \phi M_{к} - nM_{г} ( 1 - \phi ) } \approx 1 К$.
Между дном цилиндра и гладким поршнем при температуре $T_{1} = 111 К$ содержится смесь гелия и криптона с относительной влажностью $\phi = 0,5$. Плотность гелия в $n = 2$ раза меньше плотности криптона. Ось цилиндра горизонтальна. Вне цилиндра давление равно нормальному атмосферному. Температура кипения криптона при нормальном атмосферном давлении равна $T_{к} = 121 К$. Молярные массы гелия и криптона равны $M_{г} = 4 г/моль$ и $M_{к} = 84 г/моль$. На сколько нужно понизить температуру смеси, чтобы на стенках цилиндра выпала роса? Считать, что давление насыщенных паров криптона линейно зависит от его абсолютной температуры.
Решение:
При решении задачи будем, как обычно, считать, что поведение гелия и криптона вплоть до точки насыщения подчиняется уравнению Клапейрона-Менделеева, а охлаждение смеси происходит столь медленно, что содержимое цилиндра все время находится в состоянии термодинамического равновесия. Кроме того, будем считать, что в цилиндре существуют такие условия, при которых криптон начинает конденсироваться, как только его парциальное давление становится равным давлению $p_{нк}$ его насыщенных паров. Отметим, что, поскольку криптон в газообразном состоянии в цилиндре находится при температуре явно ниже критической ($T_{крк} \approx 210 К$), его следует называть паром, в то время как гелий ($T_{крг} = 5 К$) следует называть газом.
Согласно уравнению Клапейрона-Менделеева, плотность $\rho_{i}$ составляющей смеси, находящейся в газообразном состоянии, ее молярная масса $M_{i}$, абсолютная температура $T_{i}$ и парциальное давление $p_{i}$ должны удовлетворять уравнению
$p_{i}M_{i} = \rho_{i}RT_{i}$,
где R - универсальная газовая постоянная. Следовательно,
$n = \frac{ \rho_{к} }{ \rho_{г} } = \frac{p_{к}M_{к} }{ \rho_{г} M_{г} }$.
Сумма парциальных давлений гелия и криптона при любой температуре равна внешнему атмосферному давлению $p$, а потому парциальное давление криптона равно
$p_{к} (T_{i}) = \frac{npM_{г} }{nM_{г} + M_{к} } \phi$,
если $T_{i} \geq T_{2}$, где $T_{2}$ - абсолютная температура, при которой пары криптона становятся насыщенными.
Так как относительная влажность газопаровой смеси при температуре $T_{1}$ равна $\phi$ и криптон при нормальном атмосферном давлении кипит при температуре $T_{к}$, должны выполняться соотношения
$p_{к} (T_{1}) = \phi p_{кн} (T_{1}), p_{кн} (T_{к}) = p$ и $p_{к} ( T_{2} ) = p_{кн}( T_{2} )$,
причем
$p_{кн}(T_{i} ) = a + bT_{i}$.
Решая совместно приведенные уравнения, получаем
$\frac{T_{1} - T_{2}}{T_{к} - T_{1} } = \frac{nM_{г}(1 - \phi ) }{ \phi M_{к} - nM_{г}(1 - \phi ) }$.
Следовательно, на стенках цилиндра должна появиться роса, если температуру смеси понизить на
$\Delta T = T_{1} - T_{2} = \frac{(T_{к} - T_{1})(1 - \phi ) nM_{г}}{ \phi M_{к} - nM_{г} ( 1 - \phi ) } \approx 1 К$.
