Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15097
2021-04-05 
Через кран, вмонтированный в дно цилиндра, ось которого горизонтальна, закачали некоторое количество гелия. При этом поршень в цилиндре перемещался, преодолевая действие внешнего атмосферного давления $p_{0}$ и силу сухого трения о стенки цилиндра. Затем кран закрыли, а температуру газа изменили так, что его объем установился равным $V_{0}$. Какое количество теплоты $Q$ нужно сообщить газу, чтобы расстояние между дном цилиндра и поршнем увеличилось на $\Delta L$, если площадь сечения поршня $S$, а величина силы сухого трения скольжения $F_{тр}$?
Решение:
Предположим, что цилиндр покоится относительно лабораторной системы отсчета, и эту систему будем считать инерциальной. Кроме того, будем считать, что изменение температуры гелия происходит так, что поршень перемещается очень медленно и давление во всех точках внутри цилиндра изменяется одинаковым образом. Если гелий после закачки охлаждали (первый случай), то его объем мог только уменьшаться, а поршень двигался к дну цилиндра, преодолевая силу сухого трения. Следовательно, в этом случае давление гелия в цилиндре перед нагреванием не могло быть меньше $p_{1} = p_{0} - \frac{F_{тр}}{S}$. Если же газ предварительно нагревали (второй случай), то направление силы сухого трения, действующей на поршень, совпадало с направлением силы атмосферного давления, а потому давление в цилиндре все время оставалось равным $p_{2} = p_{0} + \frac{F_{тр}}{S}$. Из сказанного ясно, что в первом случае объем гелия при нагревании не будет изменяться, пока его давление не станет равным $p_{2}$. Во втором же случае объем гелия должен начать увеличиваться, как только его стали нагревать, причем давление гелия будет оставаться неизменным и равным $p_{2}$.
Пусть абсолютная температура гелия при давлении $p_{1}$ и объеме $V_{0}$ равна $T_{1}$, при давлении $p_{2}$ и объеме $V_{0}$ равна $T_{2}$, а при увеличении объема гелия на величину $S \Delta L$ стала равной $T_{3}$. Полагая, что количество молей гелия $\nu$ в цилиндре неизменно и в интересующем диапазоне температур и давлений гелий подчиняется уравнению Клапейрона-Менделеева, можно записать
$p_{1}V_{0} = \nu RT_{1}, p_{2}V_{0} = \nu RT_{2}$ и $p_{2} (V_{0} + S \Delta L ) = \nu RT_{3}$,
где R - универсальная газовая постоянная.
Как известно, гелий является одноатомным газом, поэтому его внутренняя энергия при температуре $T$ равна $1,5 \nu RT$. Поскольку в первом случае гелий надо нагревать от температуры не меньшей $T_{1}$ до температуры $T_{2}$ изохорически, подводимое к нему количество теплоты будет увеличивать только его внутреннюю энергию:
$Q_{1} = 1,5 \nu R (T_{2} - T_{1})$.
Нагревание же гелия от температуры $T_{2}$ до температуры $T_{3}$ будет происходить изобарически. Следовательно, будет не только увеличиваться внутренняя энергия гелия, но он еще будет совершать работу по расширению. Поэтому
$Q_{2} = 1,5 \nu R (T_{3} - T_{2}) + \nu R ( T_{3} - T_{2}) = 2,5 \nu R ( T_{3} - T_{2})$.
Решая совместно приведенные уравнения, получим
$Q_{1} = \frac{3V_{0}F_{тр}}{S}, Q_{2} = 2,5 (p_{0}S + F_{тр}) \Delta L$.
Итак, искомое количество теплоты $Q$, в зависимости от того каким образом объем гелия после закачки его в цилиндр установился равным $V_{0}$, должно удовлетворять неравенству
$2,5(p_{0}S + F_{тр}) \Delta L \leq Q \leq 2,5( p_{0}S + F_{тр} ) \Delta L + \frac{3V_{0}F_{тр}}{S}$.
Через кран, вмонтированный в дно цилиндра, ось которого горизонтальна, закачали некоторое количество гелия. При этом поршень в цилиндре перемещался, преодолевая действие внешнего атмосферного давления $p_{0}$ и силу сухого трения о стенки цилиндра. Затем кран закрыли, а температуру газа изменили так, что его объем установился равным $V_{0}$. Какое количество теплоты $Q$ нужно сообщить газу, чтобы расстояние между дном цилиндра и поршнем увеличилось на $\Delta L$, если площадь сечения поршня $S$, а величина силы сухого трения скольжения $F_{тр}$?
Решение:
Предположим, что цилиндр покоится относительно лабораторной системы отсчета, и эту систему будем считать инерциальной. Кроме того, будем считать, что изменение температуры гелия происходит так, что поршень перемещается очень медленно и давление во всех точках внутри цилиндра изменяется одинаковым образом. Если гелий после закачки охлаждали (первый случай), то его объем мог только уменьшаться, а поршень двигался к дну цилиндра, преодолевая силу сухого трения. Следовательно, в этом случае давление гелия в цилиндре перед нагреванием не могло быть меньше $p_{1} = p_{0} - \frac{F_{тр}}{S}$. Если же газ предварительно нагревали (второй случай), то направление силы сухого трения, действующей на поршень, совпадало с направлением силы атмосферного давления, а потому давление в цилиндре все время оставалось равным $p_{2} = p_{0} + \frac{F_{тр}}{S}$. Из сказанного ясно, что в первом случае объем гелия при нагревании не будет изменяться, пока его давление не станет равным $p_{2}$. Во втором же случае объем гелия должен начать увеличиваться, как только его стали нагревать, причем давление гелия будет оставаться неизменным и равным $p_{2}$.
Пусть абсолютная температура гелия при давлении $p_{1}$ и объеме $V_{0}$ равна $T_{1}$, при давлении $p_{2}$ и объеме $V_{0}$ равна $T_{2}$, а при увеличении объема гелия на величину $S \Delta L$ стала равной $T_{3}$. Полагая, что количество молей гелия $\nu$ в цилиндре неизменно и в интересующем диапазоне температур и давлений гелий подчиняется уравнению Клапейрона-Менделеева, можно записать
$p_{1}V_{0} = \nu RT_{1}, p_{2}V_{0} = \nu RT_{2}$ и $p_{2} (V_{0} + S \Delta L ) = \nu RT_{3}$,
где R - универсальная газовая постоянная.
Как известно, гелий является одноатомным газом, поэтому его внутренняя энергия при температуре $T$ равна $1,5 \nu RT$. Поскольку в первом случае гелий надо нагревать от температуры не меньшей $T_{1}$ до температуры $T_{2}$ изохорически, подводимое к нему количество теплоты будет увеличивать только его внутреннюю энергию:
$Q_{1} = 1,5 \nu R (T_{2} - T_{1})$.
Нагревание же гелия от температуры $T_{2}$ до температуры $T_{3}$ будет происходить изобарически. Следовательно, будет не только увеличиваться внутренняя энергия гелия, но он еще будет совершать работу по расширению. Поэтому
$Q_{2} = 1,5 \nu R (T_{3} - T_{2}) + \nu R ( T_{3} - T_{2}) = 2,5 \nu R ( T_{3} - T_{2})$.
Решая совместно приведенные уравнения, получим
$Q_{1} = \frac{3V_{0}F_{тр}}{S}, Q_{2} = 2,5 (p_{0}S + F_{тр}) \Delta L$.
Итак, искомое количество теплоты $Q$, в зависимости от того каким образом объем гелия после закачки его в цилиндр установился равным $V_{0}$, должно удовлетворять неравенству
$2,5(p_{0}S + F_{тр}) \Delta L \leq Q \leq 2,5( p_{0}S + F_{тр} ) \Delta L + \frac{3V_{0}F_{тр}}{S}$.
