Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15096
2021-04-05 
На гладкой плоскости, образующей с горизонтом угол $\alpha$, лежит длинная доска массой $M$, упирающаяся нижним торцом в легкую пружину, второй конец которой закреплен (рис.). На доске находится кубик массой $m$, который с помощью параллельной доске нити медленно и равномерно перемещают вверх. Оси пружины и доски, нить и центр масс кубика находятся в одной вертикальной плоскости. При каком коэффициенте трения $\mu$ кубика о доску он будет совершать гармонические колебания после внезапного обрыва нити?
Решение:
Будем считать наклонную плоскость неподвижной относительно некоторой инерциальной системы отсчета, а кубик и доску - твердыми телами. Положим, что сила сухого трения скольжения не зависит от относительной скорости движения взаимодействующих тел и равна максимальному значению силы сухого трения покоя между ними. Учитывая, что ось пружины и доски, нить и центр масс кубика лежат в одной вертикальной плоскости, а кубик движется равномерно, можно считать, что доска до обрыва нити покоилась, кубик двигался поступательно, сила натяжения нити была направлена вверх параллельно наклонной плоскости и равна
$T = mg ( \sin \alpha + \mu \cos \alpha )$,
где $g$ - ускорение свободного падения. После обрыва нити кубик будет скользить вверх по доске до тех пор, пока за счет работы силы тяжести и силы трения со стороны доски его скорость не станет равной нулю. Вплоть до этого момента времени ($t = 0$) деформация пружины должна оставаться неизменной, а доска - покоящейся (действующая со стороны кубика на доску сила сухого трения скольжения не изменяется). После остановки кубика не только величина, но и направление силы трения будут изменяться, а потому доска не сможет оставаться неподвижной.
По условию задачи кубик после обрыва нити должен совершать гармонические колебания. Следовательно, механическая энергия кубика, доски и пружины после возникновения колебаний должна оставаться неизменной. Так может быть только в том случае, если кубик остается неподвижным относительно доски. Поэтому уравнения движения кубика и доски в проекции на ось $x$, направленную вниз параллельно наклонной плоскости, для моментов времени $t > 0$ имеют вид
$mx^{ \prime \prime } = mg \sin \alpha - F_{тр} (t), Mx^{ \prime \prime } = - kx + Mg \sin \alpha + F_{тр} (t)$,
где $x^{ \prime \prime }$ - проекция ускорения кубика и доски на ось $x$, начало которой соответствует положению некоторой фиксированной точки доски при недеформированной пружине. Складывая почленно последние два уравнения, получаем
$(M + m) x^{ \prime \prime } = (M + m)g \sin \alpha - kx$,
или
$(M + m) x_{1}^{ \prime \prime } = - kx_{1}$, где $x_{1} = x - \frac{M + m}{k} g \sin \alpha$.
Решение этого уравнения имеет вид $x_{1}(t) = - A \cos \omega t$, где амплитуда колебаний $A$ равна модулю разности величин деформаций пружины до обрыва нити и в те моменты, когда после ее обрыва ускорение кубика становится равным нулю:
$A = \frac{M + m}{k} g \sin \alpha - \frac{M \sin \alpha - \mu m \cos \alpha }{k} g = \frac{T}{k}$,
а угловая частота колебаний равна
$\omega = \sqrt{ \frac{k}{M + m} }$.
Из полученных выражений получаем, что ускорение кубика при гармонических колебаниях будет изменяться по закону
$x^{ \prime } = x_{1}^{ \prime \prime } = A \omega^{2} \cos \omega t$,
а потому величина действующей на кубик силы трения со стороны доски будет равна
$| F_{тр}(t)| = m| x^{ \prime \prime } + g \sin \alpha | = m| A \omega^{2} \cos \omega t + g \sin \alpha |$.
Следовательно, кубик будет совершать гармонические колебания после обрыва нити, если величина силы трения покоя будет не меньше чем $g \sin \alpha + A \omega^{2}$. Учитывая, что максимальная величина силы сухого трения покоя равна $\mu mg \cos \alpha$, после простых алгебраических преобразований получим, что искомое значение коэффициента трения кубика о доску должно удовлетворять неравенству
$\mu \geq \left ( 1 + \frac{2m}{M} \right ) tg \alpha$.
На гладкой плоскости, образующей с горизонтом угол $\alpha$, лежит длинная доска массой $M$, упирающаяся нижним торцом в легкую пружину, второй конец которой закреплен (рис.). На доске находится кубик массой $m$, который с помощью параллельной доске нити медленно и равномерно перемещают вверх. Оси пружины и доски, нить и центр масс кубика находятся в одной вертикальной плоскости. При каком коэффициенте трения $\mu$ кубика о доску он будет совершать гармонические колебания после внезапного обрыва нити?
Решение:
Будем считать наклонную плоскость неподвижной относительно некоторой инерциальной системы отсчета, а кубик и доску - твердыми телами. Положим, что сила сухого трения скольжения не зависит от относительной скорости движения взаимодействующих тел и равна максимальному значению силы сухого трения покоя между ними. Учитывая, что ось пружины и доски, нить и центр масс кубика лежат в одной вертикальной плоскости, а кубик движется равномерно, можно считать, что доска до обрыва нити покоилась, кубик двигался поступательно, сила натяжения нити была направлена вверх параллельно наклонной плоскости и равна
$T = mg ( \sin \alpha + \mu \cos \alpha )$,
где $g$ - ускорение свободного падения. После обрыва нити кубик будет скользить вверх по доске до тех пор, пока за счет работы силы тяжести и силы трения со стороны доски его скорость не станет равной нулю. Вплоть до этого момента времени ($t = 0$) деформация пружины должна оставаться неизменной, а доска - покоящейся (действующая со стороны кубика на доску сила сухого трения скольжения не изменяется). После остановки кубика не только величина, но и направление силы трения будут изменяться, а потому доска не сможет оставаться неподвижной.
По условию задачи кубик после обрыва нити должен совершать гармонические колебания. Следовательно, механическая энергия кубика, доски и пружины после возникновения колебаний должна оставаться неизменной. Так может быть только в том случае, если кубик остается неподвижным относительно доски. Поэтому уравнения движения кубика и доски в проекции на ось $x$, направленную вниз параллельно наклонной плоскости, для моментов времени $t > 0$ имеют вид
$mx^{ \prime \prime } = mg \sin \alpha - F_{тр} (t), Mx^{ \prime \prime } = - kx + Mg \sin \alpha + F_{тр} (t)$,
где $x^{ \prime \prime }$ - проекция ускорения кубика и доски на ось $x$, начало которой соответствует положению некоторой фиксированной точки доски при недеформированной пружине. Складывая почленно последние два уравнения, получаем
$(M + m) x^{ \prime \prime } = (M + m)g \sin \alpha - kx$,
или
$(M + m) x_{1}^{ \prime \prime } = - kx_{1}$, где $x_{1} = x - \frac{M + m}{k} g \sin \alpha$.
Решение этого уравнения имеет вид $x_{1}(t) = - A \cos \omega t$, где амплитуда колебаний $A$ равна модулю разности величин деформаций пружины до обрыва нити и в те моменты, когда после ее обрыва ускорение кубика становится равным нулю:
$A = \frac{M + m}{k} g \sin \alpha - \frac{M \sin \alpha - \mu m \cos \alpha }{k} g = \frac{T}{k}$,
а угловая частота колебаний равна
$\omega = \sqrt{ \frac{k}{M + m} }$.
Из полученных выражений получаем, что ускорение кубика при гармонических колебаниях будет изменяться по закону
$x^{ \prime } = x_{1}^{ \prime \prime } = A \omega^{2} \cos \omega t$,
а потому величина действующей на кубик силы трения со стороны доски будет равна
$| F_{тр}(t)| = m| x^{ \prime \prime } + g \sin \alpha | = m| A \omega^{2} \cos \omega t + g \sin \alpha |$.
Следовательно, кубик будет совершать гармонические колебания после обрыва нити, если величина силы трения покоя будет не меньше чем $g \sin \alpha + A \omega^{2}$. Учитывая, что максимальная величина силы сухого трения покоя равна $\mu mg \cos \alpha$, после простых алгебраических преобразований получим, что искомое значение коэффициента трения кубика о доску должно удовлетворять неравенству
$\mu \geq \left ( 1 + \frac{2m}{M} \right ) tg \alpha$.
