Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15094
2021-04-05 
По горизонтальной плоскости скользит квадратная пластина АВСD. В некоторый момент скорости вершин А и В оказались перпендикулярными друг другу, а скорость вершины С была равна $v$ и составила с вектором $\vec{CD}$ угол, тангенс которого равен 0,5. Найдите скорость точки М, являющейся серединой отрезка АВ, в этот момент времени.
Решение:
Будем, как это обычно и делается при решении подобных задач, считать пластину твердым телом. По условию задачи тангенс угла $\alpha$ между вектором скорости $\vec{v}$ вершины С и стороной квадрата CD (рис.) равен 0,5, а пластина движется по плоскости. Следовательно, скорости всех точек пластины параллельны плоскости, угол BCM равен $\alpha$ и скорость вершины С перпендикулярна прямой МС. Кроме того, так как длина прямой МС должна быть неизменной, то искомая скорость $\vec{v}_{M}$ перпендикулярна прямой МС и образует со стороной АВ угол $\alpha$.
Пусть вектор скорости $\vec{v}_{B}$ вершины В образует со стороной АВ угол $\beta$. Поскольку $BC = const$, вектор $\vec{v}_{B}$ может быть направлен только так, как показано на рисунках, причем в обоих случаях $v \sin \alpha = v_{B} \sin \beta$ и $0 < \beta < \frac{ \pi}{2}$.
По условию задачи скорости вершин А и В взаимно перпендикулярны, поэтому угол АКВ между прямой АК и перпендикуляром КЕ, опущенным из конца вектора скорости вершины А на сторону АВ, равен $\beta$. Поскольку $AM = MB = const$, то $v_{A} \sin \beta = v_{B} \cos \beta = v_{M} \cos \alpha$.
Учитывая, что проекции скоростей вершин A и С на соединяющую их прямую AC должны быть одинаковыми ($AC = const$), а угол FAК в первом случае $\beta - \frac{ \pi}{4}$, а во втором случае $\beta + \frac{ \pi}{4}$. получаем
$v_{A} \cos \left ( \beta \mp \frac{ \pi}{4} \right ) = v \cos \left ( \alpha + \frac{ \pi}{4} \right )$.
Поскольку $\sin \alpha = \frac{1}{ \sqrt{5}}$, a $\cos \alpha = \frac{2}{ \sqrt{5} }$, из предыдущих соотношении следует, что
$v_{A} = v_{B} \frac{ \cos \beta }{ \sin \beta } = v \frac{ \cos \beta }{ \sqrt{5} \sin^{2} \beta } = v \frac{1}{ \sqrt{5} ( \cos \beta \pm \sin \beta ) }$,
а потому
$\cos^{2} \beta \pm \cos \beta \sin \beta = \sin^{2} \beta$, или $tg^{2} \beta \mp tg \beta - 1 = 0$.
Решая последнее уравнение, получаем
$tg \beta = \frac{ \sqrt{5} \pm 1 }{2}$, и $v_{M} = \frac{v}{2 tg \beta } = \frac{ \sqrt{5} \mp 1 }{4} v$.
Решение этой задачи можно существенно упростить, если воспользоваться понятием мгновенной оси вращения.
По условию задачи скорости разных точек пластины компланарны, но не параллельны друг другу, следовательно, движение пластины можно представить как сумму вращательного движения вокруг некоторой оси, перпендикулярной горизонтальной плоскости, по которой движется пластина, и движения этой оси с некоторой скоростью, параллельной указанной плоскости. Поэтому если в качестве оси вращения выбрать так называемую мгновенную ось вращения (ось, скорость которой в данный момент времени равна нулю), то величина линейной скорости произвольной точки пластины будет равна произведению угловой скорости на радиус вращения данной точки и направлена перпендикулярно этому радиусу. Из сказанного следует, что мгновенная ось вращения должна проходить через точку пересечения перпендикуляров к векторам скоростей точек пластины, лежащих в одной горизонтальной плоскости. Поскольку скорости вершин А и В взаимно перпендикулярны, то и перпендикуляры к этим скоростям должны пересекаться под прямым углом, следовательно, точка пересечения этих перпендикуляров должна совпадать с одной из точек окружности, диаметром которой является сторона АВ. На рисунке пунктирной линией показан перпендикуляр к вектору скорости точки С. Видно, что этот перпендикуляр пересекает построенную окружность в двух точках. Таким образом, мгновенная ось вращения проходит либо через точку $O_{1}$, либо через точку $O_{2}$, а угловая скорость вращения квадрата равна либо $\omega_{1} = \frac{v}{O_{1}C}$, либо $\omega_{2} = \frac{v}{O_{2}C}$.
Пусть длина стороны квадрата равна $2a$. По условию задачи, вектор $\vec{v}$ скорости вершины С образует с вектором $\vec{CD}$ такой угол $\alpha$, что $tg \alpha = 0,5$, поэтому перпендикуляр к $\vec{v}$ пересекает сторону АВ в точке М (эта точка совпадает с серединой стороны АВ). Тогда
$MC = \frac{2a}{ \cos \alpha} = \sqrt{5}a$,
$O_{1}C = MC + a$ и $O_{2}C = MC - a$.
Следовательно, линейная скорость точки М направлена перпендикулярно отрезку МС, а ее величина равна
$v_{M_{1} } = \frac{v}{ \sqrt{5} + 1 } = \frac{ \sqrt{5} - 1}{4} v$ либо $v_{M_{1} } = \frac{v}{ \sqrt{5} - 1 } = \frac{ \sqrt{5} + 1 }{4} v$,
что совпадает с полученным ранее результатом.
По горизонтальной плоскости скользит квадратная пластина АВСD. В некоторый момент скорости вершин А и В оказались перпендикулярными друг другу, а скорость вершины С была равна $v$ и составила с вектором $\vec{CD}$ угол, тангенс которого равен 0,5. Найдите скорость точки М, являющейся серединой отрезка АВ, в этот момент времени.
Решение:
Будем, как это обычно и делается при решении подобных задач, считать пластину твердым телом. По условию задачи тангенс угла $\alpha$ между вектором скорости $\vec{v}$ вершины С и стороной квадрата CD (рис.) равен 0,5, а пластина движется по плоскости. Следовательно, скорости всех точек пластины параллельны плоскости, угол BCM равен $\alpha$ и скорость вершины С перпендикулярна прямой МС. Кроме того, так как длина прямой МС должна быть неизменной, то искомая скорость $\vec{v}_{M}$ перпендикулярна прямой МС и образует со стороной АВ угол $\alpha$.
Пусть вектор скорости $\vec{v}_{B}$ вершины В образует со стороной АВ угол $\beta$. Поскольку $BC = const$, вектор $\vec{v}_{B}$ может быть направлен только так, как показано на рисунках, причем в обоих случаях $v \sin \alpha = v_{B} \sin \beta$ и $0 < \beta < \frac{ \pi}{2}$.
По условию задачи скорости вершин А и В взаимно перпендикулярны, поэтому угол АКВ между прямой АК и перпендикуляром КЕ, опущенным из конца вектора скорости вершины А на сторону АВ, равен $\beta$. Поскольку $AM = MB = const$, то $v_{A} \sin \beta = v_{B} \cos \beta = v_{M} \cos \alpha$.
Учитывая, что проекции скоростей вершин A и С на соединяющую их прямую AC должны быть одинаковыми ($AC = const$), а угол FAК в первом случае $\beta - \frac{ \pi}{4}$, а во втором случае $\beta + \frac{ \pi}{4}$. получаем
$v_{A} \cos \left ( \beta \mp \frac{ \pi}{4} \right ) = v \cos \left ( \alpha + \frac{ \pi}{4} \right )$.
Поскольку $\sin \alpha = \frac{1}{ \sqrt{5}}$, a $\cos \alpha = \frac{2}{ \sqrt{5} }$, из предыдущих соотношении следует, что
$v_{A} = v_{B} \frac{ \cos \beta }{ \sin \beta } = v \frac{ \cos \beta }{ \sqrt{5} \sin^{2} \beta } = v \frac{1}{ \sqrt{5} ( \cos \beta \pm \sin \beta ) }$,
а потому
$\cos^{2} \beta \pm \cos \beta \sin \beta = \sin^{2} \beta$, или $tg^{2} \beta \mp tg \beta - 1 = 0$.
Решая последнее уравнение, получаем
$tg \beta = \frac{ \sqrt{5} \pm 1 }{2}$, и $v_{M} = \frac{v}{2 tg \beta } = \frac{ \sqrt{5} \mp 1 }{4} v$.
Решение этой задачи можно существенно упростить, если воспользоваться понятием мгновенной оси вращения.
По условию задачи скорости разных точек пластины компланарны, но не параллельны друг другу, следовательно, движение пластины можно представить как сумму вращательного движения вокруг некоторой оси, перпендикулярной горизонтальной плоскости, по которой движется пластина, и движения этой оси с некоторой скоростью, параллельной указанной плоскости. Поэтому если в качестве оси вращения выбрать так называемую мгновенную ось вращения (ось, скорость которой в данный момент времени равна нулю), то величина линейной скорости произвольной точки пластины будет равна произведению угловой скорости на радиус вращения данной точки и направлена перпендикулярно этому радиусу. Из сказанного следует, что мгновенная ось вращения должна проходить через точку пересечения перпендикуляров к векторам скоростей точек пластины, лежащих в одной горизонтальной плоскости. Поскольку скорости вершин А и В взаимно перпендикулярны, то и перпендикуляры к этим скоростям должны пересекаться под прямым углом, следовательно, точка пересечения этих перпендикуляров должна совпадать с одной из точек окружности, диаметром которой является сторона АВ. На рисунке пунктирной линией показан перпендикуляр к вектору скорости точки С. Видно, что этот перпендикуляр пересекает построенную окружность в двух точках. Таким образом, мгновенная ось вращения проходит либо через точку $O_{1}$, либо через точку $O_{2}$, а угловая скорость вращения квадрата равна либо $\omega_{1} = \frac{v}{O_{1}C}$, либо $\omega_{2} = \frac{v}{O_{2}C}$.
Пусть длина стороны квадрата равна $2a$. По условию задачи, вектор $\vec{v}$ скорости вершины С образует с вектором $\vec{CD}$ такой угол $\alpha$, что $tg \alpha = 0,5$, поэтому перпендикуляр к $\vec{v}$ пересекает сторону АВ в точке М (эта точка совпадает с серединой стороны АВ). Тогда
$MC = \frac{2a}{ \cos \alpha} = \sqrt{5}a$,
$O_{1}C = MC + a$ и $O_{2}C = MC - a$.
Следовательно, линейная скорость точки М направлена перпендикулярно отрезку МС, а ее величина равна
$v_{M_{1} } = \frac{v}{ \sqrt{5} + 1 } = \frac{ \sqrt{5} - 1}{4} v$ либо $v_{M_{1} } = \frac{v}{ \sqrt{5} - 1 } = \frac{ \sqrt{5} + 1 }{4} v$,
что совпадает с полученным ранее результатом.
