Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15093
2021-04-05 
Лента почтового транспортера движется с постоянной скоростью $v$, находясь в одной плоскости с горизонтальной поверхностью стола. На ленту попадает небольшая коробка, двигавшаяся по столу со скоростью $v/2$, направленной под углом $\alpha$ ($\cos \alpha = 1/9$) к краю ленты (рис.). Коэффициент трения скольжения между коробкой и лентой $\mu$. 1) Чему равна скорость коробки (по модулю) относительно ленты в начале движения по ленте? 2) При какой минимальной ширине ленты коробка не преодолеет ленту?
Решение:
Удобно за неподвижную систему отсчета взять стол, а за движущуюся систему отсчета - ленту. Тогда скорость ленты это переносная скорость $\vec{v}_{пep}$, причем
$v_{пep} = v$.
В начале движения по ленте скорость коробки относительно стола есть абсолютная скорость $\vec{v}_{абс}$, равная скорости коробки относительно стола до въезда на ленту, поэтому
$v_{абс} = \frac{v}{2}$.
Скорость коробки относительно ленты в начале движения по ленте есть относительная скорость $\vec{v}_{отн}$.
По правилу сложения скоростей (рис.),
$\vec{v}_{абс} = \vec{v}_{отн} + \vec{v}_{пep}$.
Используя теорему косинусов для треугольника из векторов скоростей, получаем
$v_{отн}^{2} = v_{пep}^{2} + \vec{v}_{абс}^{2} - 2v_{пер} v_{абс} \cos (180^{ \circ} - \alpha )$.
С учетом выражений для $v_{пep}$ и $v_{абс}$ через $v$ после упрощений находим скорость коробки относительно ленты в начале движения по ленте:
$v_{отн} = \frac{7}{6}v$.
Для ответа на второй вопрос удобно перейти в инерциальную систему отсчета, связанную с лентой. Относительно ленты коробка имеет начальную скорость $\vec{v}_{отн}$, направленную под некоторым углом $\gamma$ к краю ленты, и движется прямолинейно и равнозамедленно с ускорением $\mu g$. При требовании минимальности ширины $d$ ленты коробка остановится на ленте у противоположного края ленты, пройдя по ленте путь
$s = \frac{d}{ \sin \gamma }$.
Для равнозамедленного движения по ленте можно записать
$v_{отн}^{2} = 2 \mu gs$.
Из последних двух равенств, с учетом полученного ранее выражения для $v_{отн}$ через $v$, находим
$d = \frac{49}{72} \frac{v^{2} \sin \gamma }{ \mu g}$.
По теореме синусов для треугольника из векторов скоростей,
$\frac{ \sin \gamma}{ \sin ( 180^{ \circ} - \alpha ) } = \frac{v_{абс} }{v_{отн} }$,
где
$\sin (180^{ \circ} - \alpha ) = \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^{2} \alpha } = \frac{4 \sqrt{5} }{9}$.
Отсюда, с учетом выражений для $v_{абс}$ и $v_{отн}$ через $v$, получаем
$\sin \gamma = \frac{4 \sqrt{5} }{21}$.
Подставив значение $\sin \gamma$ в выражение для $d$, находим минимальную ширину ленты:
$d = \frac{7 \sqrt{5} }{54} \frac{v^{2} }{ \mu g}$.
Лента почтового транспортера движется с постоянной скоростью $v$, находясь в одной плоскости с горизонтальной поверхностью стола. На ленту попадает небольшая коробка, двигавшаяся по столу со скоростью $v/2$, направленной под углом $\alpha$ ($\cos \alpha = 1/9$) к краю ленты (рис.). Коэффициент трения скольжения между коробкой и лентой $\mu$. 1) Чему равна скорость коробки (по модулю) относительно ленты в начале движения по ленте? 2) При какой минимальной ширине ленты коробка не преодолеет ленту?
Решение:
Удобно за неподвижную систему отсчета взять стол, а за движущуюся систему отсчета - ленту. Тогда скорость ленты это переносная скорость $\vec{v}_{пep}$, причем
$v_{пep} = v$.
В начале движения по ленте скорость коробки относительно стола есть абсолютная скорость $\vec{v}_{абс}$, равная скорости коробки относительно стола до въезда на ленту, поэтому
$v_{абс} = \frac{v}{2}$.
Скорость коробки относительно ленты в начале движения по ленте есть относительная скорость $\vec{v}_{отн}$.
По правилу сложения скоростей (рис.),
$\vec{v}_{абс} = \vec{v}_{отн} + \vec{v}_{пep}$.
Используя теорему косинусов для треугольника из векторов скоростей, получаем
$v_{отн}^{2} = v_{пep}^{2} + \vec{v}_{абс}^{2} - 2v_{пер} v_{абс} \cos (180^{ \circ} - \alpha )$.
С учетом выражений для $v_{пep}$ и $v_{абс}$ через $v$ после упрощений находим скорость коробки относительно ленты в начале движения по ленте:
$v_{отн} = \frac{7}{6}v$.
Для ответа на второй вопрос удобно перейти в инерциальную систему отсчета, связанную с лентой. Относительно ленты коробка имеет начальную скорость $\vec{v}_{отн}$, направленную под некоторым углом $\gamma$ к краю ленты, и движется прямолинейно и равнозамедленно с ускорением $\mu g$. При требовании минимальности ширины $d$ ленты коробка остановится на ленте у противоположного края ленты, пройдя по ленте путь
$s = \frac{d}{ \sin \gamma }$.
Для равнозамедленного движения по ленте можно записать
$v_{отн}^{2} = 2 \mu gs$.
Из последних двух равенств, с учетом полученного ранее выражения для $v_{отн}$ через $v$, находим
$d = \frac{49}{72} \frac{v^{2} \sin \gamma }{ \mu g}$.
По теореме синусов для треугольника из векторов скоростей,
$\frac{ \sin \gamma}{ \sin ( 180^{ \circ} - \alpha ) } = \frac{v_{абс} }{v_{отн} }$,
где
$\sin (180^{ \circ} - \alpha ) = \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^{2} \alpha } = \frac{4 \sqrt{5} }{9}$.
Отсюда, с учетом выражений для $v_{абс}$ и $v_{отн}$ через $v$, получаем
$\sin \gamma = \frac{4 \sqrt{5} }{21}$.
Подставив значение $\sin \gamma$ в выражение для $d$, находим минимальную ширину ленты:
$d = \frac{7 \sqrt{5} }{54} \frac{v^{2} }{ \mu g}$.
