Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 15085
2021-03-26 
На гладкой горизонтальной поверхности расположено тонкое непроводящее кольцо массой $m$, вдоль которого равномерно распределен заряд $Q$. Кольцо находится во внешнем однородном магнитном поле с индукцией, равной $B_{0}$ и направленной перпендикулярно плоскости кольца. Внешнее магнитное поле выключают. По какой причине (укажите механизм) кольцо начнет вращаться? Найдите угловую скорость вращения кольца после выключения магнитного поля.
Решение:
Пусть магнитное поле исчезает до нуля за время $t_{0}$ по простейшему линейному закону (рис.). Очевидна зависимость
$B(t) = B_{0} - \frac{B_{0} }{t_{0} } t$.
Введем радиус кольца $R$, помня, что он нам не дан, впрочем как и величина $t_{0}$. Мгновенный магнитный поток, пронизывающий кольцо, равен
$\Phi = BS = \pi R^{2}B_{0} \left ( 1 - \frac{t}{t_{0} } \right )$.
ЭДС индукции, в силу формулы $\mathcal{E}_{i} = - \Phi^{ \prime}$, равна
$\mathcal{E}_{i} = \frac{ \pi R^{2}B_{0} }{t_{0} }$.
Физическая причина вращения кольца такова. Переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле, силовые линии которого в каждой точке кольца направлены по касательной к нему. Это поле и действует на заряды кольца.
Найдем модуль напряженности электрического поля $E$. Поскольку по соображениям симметрии в любой точке кольца $E = const$, то, мысленно разрезав кольцо, мы вправе применить формулу $\Delta \phi = Ed$, где $\Delta \phi = \mathcal{E}_{i}$ - разность потенциалов между точками разреза, $d = 2 \pi R$ - длина кольца. Значит,
$E = \frac{ \mathcal{E}_{i} }{2 \pi R} = \frac{RB_{0}}{2t_{0} }$.
Разобьем кольцо на достаточно большое число $n$ точечных зарядов $\Delta Q = \frac{Q}{n}$ с массой $\Delta m = \frac{m}{n}$. На каждый такой заряд будет действовать сила (рис.)
$\Delta F = E \Delta Q = \frac{B_{0}Q }{2} \frac{R}{t_{0}n }$.
По второму закону Ньютона модуль линейного ускорения любого элемента кольца равен
$a = \frac{ \Delta F}{ \Delta m} = \frac{B_{0} Q}{2} \frac{R}{t_{0}n }$.
Соответствующее угловое ускорение, равное
$\epsilon = \frac{a}{R} = \frac{ B_{0}Q}{2mt_{0} }$,
постоянно. Следовательно, угловая скорость вращения кольца равна
$\omega = \epsilon t_{0} = \frac{B_{0}Q }{2m}$.
Как видим, введенные неизвестные величины $t_{0}$ и $R$, которые нам были необходимы для решения, сократились.
На гладкой горизонтальной поверхности расположено тонкое непроводящее кольцо массой $m$, вдоль которого равномерно распределен заряд $Q$. Кольцо находится во внешнем однородном магнитном поле с индукцией, равной $B_{0}$ и направленной перпендикулярно плоскости кольца. Внешнее магнитное поле выключают. По какой причине (укажите механизм) кольцо начнет вращаться? Найдите угловую скорость вращения кольца после выключения магнитного поля.
Решение:
Пусть магнитное поле исчезает до нуля за время $t_{0}$ по простейшему линейному закону (рис.). Очевидна зависимость
$B(t) = B_{0} - \frac{B_{0} }{t_{0} } t$.
Введем радиус кольца $R$, помня, что он нам не дан, впрочем как и величина $t_{0}$. Мгновенный магнитный поток, пронизывающий кольцо, равен
$\Phi = BS = \pi R^{2}B_{0} \left ( 1 - \frac{t}{t_{0} } \right )$.
ЭДС индукции, в силу формулы $\mathcal{E}_{i} = - \Phi^{ \prime}$, равна
$\mathcal{E}_{i} = \frac{ \pi R^{2}B_{0} }{t_{0} }$.
Физическая причина вращения кольца такова. Переменное магнитное поле порождает вихревое электрическое поле, силовые линии которого в каждой точке кольца направлены по касательной к нему. Это поле и действует на заряды кольца.
Найдем модуль напряженности электрического поля $E$. Поскольку по соображениям симметрии в любой точке кольца $E = const$, то, мысленно разрезав кольцо, мы вправе применить формулу $\Delta \phi = Ed$, где $\Delta \phi = \mathcal{E}_{i}$ - разность потенциалов между точками разреза, $d = 2 \pi R$ - длина кольца. Значит,
$E = \frac{ \mathcal{E}_{i} }{2 \pi R} = \frac{RB_{0}}{2t_{0} }$.
Разобьем кольцо на достаточно большое число $n$ точечных зарядов $\Delta Q = \frac{Q}{n}$ с массой $\Delta m = \frac{m}{n}$. На каждый такой заряд будет действовать сила (рис.)
$\Delta F = E \Delta Q = \frac{B_{0}Q }{2} \frac{R}{t_{0}n }$.
По второму закону Ньютона модуль линейного ускорения любого элемента кольца равен
$a = \frac{ \Delta F}{ \Delta m} = \frac{B_{0} Q}{2} \frac{R}{t_{0}n }$.
Соответствующее угловое ускорение, равное
$\epsilon = \frac{a}{R} = \frac{ B_{0}Q}{2mt_{0} }$,
постоянно. Следовательно, угловая скорость вращения кольца равна
$\omega = \epsilon t_{0} = \frac{B_{0}Q }{2m}$.
Как видим, введенные неизвестные величины $t_{0}$ и $R$, которые нам были необходимы для решения, сократились.
