Разделы 
Дополнительно
Задача по физике - 1508
2016-11-27 
Капля ртути массы $m = 1 г$ помещена между двумя параллельными стеклянными пластинками. Какую силу надо приложить к верхней пластинке, чтобы ртуть имела форму круглой лепешки радиуса $R = 5 см$? Поверхностное натяжение ртути $\sigma = 0,465 \frac{Н}{м}$. Ртуть не смачивает стекло.
Решение:
Сила, которую надо приложить к верхней пластинке, равна:
$F = PS$, (1)
где $P$ — давление в ртути, $S$ — площадь соприкосновения пластинки с ртутью. Рассмотрим задачу без учета внешнего давления, а затем покажем, что его учет не меняет полученный результат.
Если пренебречь действием силы тяжести, давление в ртути вызвано только силами поверхностного натяжения, причем давление во всех точках внутри капли одинаково. Отсюда мы заключаем, что радиус кривизны свободной поверхности ртути, от которого зависит давление в капле, постоянен. На основании этого, в свою очередь, мы вправе считать, что радиус кривизны капли в разрезе, показанном на рисунке, равен $r = \frac{d}{2}$, где $d$ — расстояние между пластинками (учтено, что ртуть не смачивает стекло — краевой угол $\theta = \pi$).
Воспользоваться полученной ранее формулой Лапласа для сферической поверхности жидкости $P = \frac{2 \sigma}{r}$ мы, однако, не имеем права, поскольку в разрезе капли, параллельном пластинкам, ее радиус во много раз больше $r: r \ll R$, то есть поверхность ртути не является сферической.
Для того, чтобы вычислить давление в капле, рассмотрим условие равновесия массы половины капли, полученной разрезом вертикальной плоскостью.
На половину капли со стороны другой половины действует сила давления $P(2 Rd + \pi r^{2})$ (в скобках стоит площадь сечения разреза капли) и уравновешивающая ее сила поверхностного натяжения, равная $\sigma (4R + 2 \pi r)$ (в скобках — периметр разреза капли). Других сил, действующих на каплю в горизонтальном направлении, нет. Итак, имеем:
$P (2R \cdot 2r + \pi r^{2}) = \sigma (4R + 2 \pi r)$.
Учитывая, что $r \ll R$, из последнего соотношения находим:
$P = \frac{ \sigma}{r}$.
Подставляя (2) в (1), получаем:
$F = PS = \frac{ \sigma}{r} \pi R^{2}$,
где $r$ можно найти из условия сохранения объема капли $V = \frac{m}{g}$:
$V = \frac{m}{ \rho} \approx \pi R^{2} \cdot 2r$ или $r = \frac{m}{2 \pi R^{2} \rho}$
(учли, что $r \ll R$). Итак, окончательно:
$F = \frac{ \sigma \pi^{2} R^{4} \rho}{m} = 780 Н$.
В случае учета внешнего (атмосферного) давления, давление в капле возрастет на величину $P_{0}$, однако на такую же величину возрастет давление на пластинку, поэтому сила, которую необходимо приложить к пластинке, останется той же.
Чтобы оценить влияние сил тяжести на давление внутри капли, следует сравнить максимальное гидростатическое давление $\rho gd$ с давлением за счет сил поверхностного натяжения $\frac{2 \sigma}{d}$:
$\frac{ \frac{ \rho gd}{2 \sigma}}{d} = \frac{ \rho g d^{2}}{2 \sigma} \ll 1$.
Как видно, предположение о малости сил гидростатического давления выполняется.
Давление внутри капли можно было бы получить, рассматривая условие равновесия поверхностного слоя ртути на свободной поверхности капли (сила давления на этот слой уравновешивается силами поверхностного натяжения).
Мы могли бы рассмотреть условие равновесия половины капли, полученной разрезом горизонтальной плоскостью. В этом случае условие равновесия имеет вид:
$P \pi R^{2} + 2 \pi R \sigma \approx P \cdot \pi (R + r)^{2}$,
где слева стоят сила давления со стороны пластинки и сила поверхностного натяжения, справа — сила давления на площадь поверхности разреза со стороны жидкости другой половины капли. В результате вновь приходим к соотношению (2).
Если бы жидкость полностью смачивала пластинки, то они притягивались бы с силой, вычисленной нами в данной задаче. Различие при этом состоит в том, что давление в жидкости было бы меньше атмосферного на величину $\frac{ \sigma}{r}$. При отсутствии последнего это давление является отрицательным (то есть жидкость не сжата, а растянута).
Капля ртути массы $m = 1 г$ помещена между двумя параллельными стеклянными пластинками. Какую силу надо приложить к верхней пластинке, чтобы ртуть имела форму круглой лепешки радиуса $R = 5 см$? Поверхностное натяжение ртути $\sigma = 0,465 \frac{Н}{м}$. Ртуть не смачивает стекло.
Решение:
Сила, которую надо приложить к верхней пластинке, равна:
$F = PS$, (1)
где $P$ — давление в ртути, $S$ — площадь соприкосновения пластинки с ртутью. Рассмотрим задачу без учета внешнего давления, а затем покажем, что его учет не меняет полученный результат.
Если пренебречь действием силы тяжести, давление в ртути вызвано только силами поверхностного натяжения, причем давление во всех точках внутри капли одинаково. Отсюда мы заключаем, что радиус кривизны свободной поверхности ртути, от которого зависит давление в капле, постоянен. На основании этого, в свою очередь, мы вправе считать, что радиус кривизны капли в разрезе, показанном на рисунке, равен $r = \frac{d}{2}$, где $d$ — расстояние между пластинками (учтено, что ртуть не смачивает стекло — краевой угол $\theta = \pi$).
Воспользоваться полученной ранее формулой Лапласа для сферической поверхности жидкости $P = \frac{2 \sigma}{r}$ мы, однако, не имеем права, поскольку в разрезе капли, параллельном пластинкам, ее радиус во много раз больше $r: r \ll R$, то есть поверхность ртути не является сферической.
Для того, чтобы вычислить давление в капле, рассмотрим условие равновесия массы половины капли, полученной разрезом вертикальной плоскостью.
На половину капли со стороны другой половины действует сила давления $P(2 Rd + \pi r^{2})$ (в скобках стоит площадь сечения разреза капли) и уравновешивающая ее сила поверхностного натяжения, равная $\sigma (4R + 2 \pi r)$ (в скобках — периметр разреза капли). Других сил, действующих на каплю в горизонтальном направлении, нет. Итак, имеем:
$P (2R \cdot 2r + \pi r^{2}) = \sigma (4R + 2 \pi r)$.
Учитывая, что $r \ll R$, из последнего соотношения находим:
$P = \frac{ \sigma}{r}$.
Подставляя (2) в (1), получаем:
$F = PS = \frac{ \sigma}{r} \pi R^{2}$,
где $r$ можно найти из условия сохранения объема капли $V = \frac{m}{g}$:
$V = \frac{m}{ \rho} \approx \pi R^{2} \cdot 2r$ или $r = \frac{m}{2 \pi R^{2} \rho}$
(учли, что $r \ll R$). Итак, окончательно:
$F = \frac{ \sigma \pi^{2} R^{4} \rho}{m} = 780 Н$.
В случае учета внешнего (атмосферного) давления, давление в капле возрастет на величину $P_{0}$, однако на такую же величину возрастет давление на пластинку, поэтому сила, которую необходимо приложить к пластинке, останется той же.
Чтобы оценить влияние сил тяжести на давление внутри капли, следует сравнить максимальное гидростатическое давление $\rho gd$ с давлением за счет сил поверхностного натяжения $\frac{2 \sigma}{d}$:
$\frac{ \frac{ \rho gd}{2 \sigma}}{d} = \frac{ \rho g d^{2}}{2 \sigma} \ll 1$.
Как видно, предположение о малости сил гидростатического давления выполняется.
Давление внутри капли можно было бы получить, рассматривая условие равновесия поверхностного слоя ртути на свободной поверхности капли (сила давления на этот слой уравновешивается силами поверхностного натяжения).
Мы могли бы рассмотреть условие равновесия половины капли, полученной разрезом горизонтальной плоскостью. В этом случае условие равновесия имеет вид:
$P \pi R^{2} + 2 \pi R \sigma \approx P \cdot \pi (R + r)^{2}$,
где слева стоят сила давления со стороны пластинки и сила поверхностного натяжения, справа — сила давления на площадь поверхности разреза со стороны жидкости другой половины капли. В результате вновь приходим к соотношению (2).
Если бы жидкость полностью смачивала пластинки, то они притягивались бы с силой, вычисленной нами в данной задаче. Различие при этом состоит в том, что давление в жидкости было бы меньше атмосферного на величину $\frac{ \sigma}{r}$. При отсутствии последнего это давление является отрицательным (то есть жидкость не сжата, а растянута).
