ГЛАВНАЯ » РЕШЕБНИК

2021-03-26   
В однородном магнитном поле электрон вращается по круговой орбите в плоскости, перпендикулярной линиям индукции поля. Индукцию поля медленно (за время, во много раз превышающее период обращения электрона) увеличивают в три раза. Во сколько раз изменится при этом радиус орбиты электрона?


Решение:


Рассмотрим изменение величины индукции магнитного поля $\Delta B$ за малое время $\Delta t$. Пусть радиус орбиты электрона в момент $t$ равен $R$. Изменяющееся магнитное поле приводит к появлению вихревого электрического поля:

$\pi R^{2} \frac{ \Delta B}{ \Delta t} = E_{вихр} \cdot 2 \pi R$,

откуда

$E_{вихр} = \frac{R}{2} \frac{ \Delta B}{ \Delta t}$.

На электрон со стороны этого поля за время $\Delta t$ подействует импульс силы, который приведет к изменению импульса электрона:

$e E_{вихр} \Delta t = \frac{eR}{2} \Delta B = m \Delta v$,

где $e$ - заряд, $m$ - масса, а $\Delta v$ - приращение скорости электрона. Уравнение движения электрона по орбите радиусом $R$ со скоростью $v$ в магнитном поле с индукцией $B$ имеет вид

$\frac{mv^{2}}{R} = evB$.

Перепишем это уравнение так:

$v = \frac{e}{m} RB$.

Продифференцируем его по трем переменным $v, R$ и $B$:

$\Delta v = \frac{e}{m} R \Delta B + \frac{e}{m} B \Delta R$.

Подставим это выражение в уравнение изменения импульса электрона:

$e \frac{R}{2} \Delta B = eR \Delta B + eB \Delta R$,

или

$- \frac{1}{2} \frac{ \Delta B}{B} = \frac{ \Delta R}{R}$.

После интегрирования получим

$R \sqrt{B} = const$.

Следовательно, радиус новой орбиты уменьшится в $\sqrt{3}$ раз.