2021-03-26
Протон со скоростью $v_{0} = 10^{7} м/с$ влетает в камеру Вильсона с индукцией магнитного поля $B = 0,2 Тл$, направленной перпендикулярно плоскости орбиты протона (рис.). На протон в камере Вильсона действует сила торможения, пропорциональная его скорости: $\vec{F}_{т} = - \alpha \vec{v}$, где $\alpha = 7 \cdot 10^{-20} Н \cdot с/м$. На каком расстоянии от точки влета протон остановится?
Решение:
Пусть в произвольный момент времени проекции скорости $\vec{v}$ протона на оси $x$ и $y$ равны $v_{x}$ и $v_{y}$. Тогда уравнения движения протона по этим осям будут иметь вид
$mv_{x}^{ \prime } = -qv_{y}B - \alpha v_{x}$,
$mv_{y}^{ \prime } = -qv_{x}B - \alpha v_{y}$,
где $m = 1,7 \cdot 10^{-27} кг$ - масса протона, a $q = 1,6 \cdot 10^{-19} Кл$ - его заряд. Учитывая, что $dy = v_{y}dt$ и $dx = v_{x}dt$, запишем эти уравнения через бесконечно малые приращения:
$dv_{x} = - \omega_{x}dy - \frac{ \alpha }{m} dx$,
$dv_{y} = \omega_{x}dx - \frac{ \alpha }{m} dy$,
где $\omega_{c} = \frac{qB}{m}$ - это частота, с котором протон вращается в однородном магнитном поле $\vec{B}$, перпендикулярном скорости протона (циклотронная частота).
Перейдя к конечным приращениям $v_{x}, v_{y}, x$ и $y$ от момента влета протона в камеру и до момента остановки, получим
$-v_{0} = - \omega_{c} y_{A} - \frac{ \alpha }{m} x_{A}$,
$0 = \omega_{c}x_{A} - \frac{ \alpha }{m} y_{A}$.
где $x_{A}$ и $y_{A}$ - координаты точки остановки протона А. Из последних уравнений находим $x_{A}$ и $y_{A}$:
$x_{A} = \frac{ \frac{ \alpha }{m} v_{0}}{ \omega_{c}^{2} + \left ( \frac{ \alpha }{m} \right )^{2} }, y_{A} = \frac{ \omega_{c}v_{0} }{ \omega_{c}^{2} + \left ( \frac{ \alpha }{m} \right )^{2} }$
и расстояние $l$ от точки влета протона в камеру до точки остановки:
$l = \sqrt{x_{A}^{2} + y_{A}^{2} } = \frac{v_{0} }{ \sqrt{ \omega_{x}^{2} + \left ( \frac{ \alpha }{m} \right )^{2} } } = \frac{v_{0}m }{ \sqrt{q^{2}B^{2} + \alpha^{2} } } = 21,7 см$.